树上任意两点的最近祖先，必定就是这两个节点的最短路径上深度最小的那个点。
例如：下图中，节点7和5，其最短路径为7--4--1--5, 这条路径上深度最小的点为节点1，其深度为1.节点1即为节点7和5的LCA。
因此，要找到任意两个节点的LCA，只需要先找到上述最短路径，再找到最短路径中深度最小的点。而这下面所述LCA在线算法所做的事。
LCA在线算法描述（以上图为例）：
1.获得“最短路径”（并不是真正的一条路径，包含其他节点，但不影响算法的正确性）
采用DFS遍历整棵树，得到以下数据：
（1）遍历序列p：0 1 3 1 4 7 4 8 4 1 5 1 0 2 6 2 0
（2）各节点的深度序列 depth: 0 1 1 2 2 2 2 3 3
（3）各节点在序列p中首次出现的位置序列pos: 0 1 13 2 4 10 14 5 7
有了以上数据，假设现在我们要求节点7和5的最短路径，我们可以这样做：
（1）首先，从pos序列中获得节点7和节点5在p序列中第一次出现的位置分别为：pos[7] = 5, pos[5] = 10;
（2）得到p序列中[5, 10]这一段子序列s：7 4 8 4 1 5
（3）s序列中深度最小的点即节点1就是我们要找的节点7和节点5的LCA。
注意到，此时的s序列并非是从节点7到节点5的一条最短路径，它除了包含7到5的最短路径上的节点外，还包含了一些其他的节点，但这些其他的节点都是以节点1为根的子树上的节点，他们的深度都比节点1大，不影响我们算法对正确结果的求解。
2.如何快速的获得一段序列中深度最小的节点
求解区间最值的问题是我们所熟悉的经典的RMQ问题，用RMQ-ST算法即可。由于RMQ-ST算法是在线的，故我们的LCA算法也是在线的。
下面是我的代码实现：
1 #include <iostream>
2 #include <string>
3 #include <map>
4 #include <vector>
5 #include <algorithm>
6 #include <cmath>
7
8 using namespace std;
9
10 #define MAXN 100005
11
12 map<string, int> mp;
13 string name[2*MAXN];
14 vector<int> v[2*MAXN];
15 int p[4*MAXN], depth[2*MAXN], pos[2*MAXN];
16 int pre_cal[4*MAXN][20];
17 int cnt, n, m;
18
19 void dfs(int i, int d)
20 {
21 pos[i] = cnt;
22 p[cnt++] = i;
23 depth[i] = d;
24 if(v[i].empty()) return;
25 for(int j=0; j<v[i].size(); ++j)
26 {
27 dfs(v[i][j], d+1);
28 p[cnt++] = i;
29 }
30 }
31
32 void rmq()
33 {
34 for(int i=0; i<4*MAXN; ++i) pre_cal[i][0] = i;
35 for(int j=1; (1<<(j-1))<4*MAXN; ++j)
36 for(int i=0; i+(1<<(j-1))<4*MAXN; ++i)
37 pre_cal[i][j] = depth[p[pre_cal[i][j-1]]]<depth[p[pre_cal[i+(1<<(j-1))][j-1]]]?pre_cal[i][j-1]:pre_cal[i+(1<<(j-1))][j-1];
38 }
39
40 string lca(int a, int b)
41 {
42 int k = floor(log(b-a+1)/log(2));
43 int x = pre_cal[a][k], y = pre_cal[b-(1<<k)+1][k];
44 return depth[p[x]]<depth[p[y]]?name[p[x]]:name[p[y]];
45 }
46
47 void init()
48 {
49 cnt = 0;
50 mp.clear();
51 for(int i=0; i<2*MAXN; ++i) v[i].clear();
52 }
53
54 int main()
55 {
56 string name1, name2;
57 while(cin>>n)
58 {
59 init();
60 while(n--)
61 {
62 cin>>name1>>name2;
63 if(mp.find(name1)==mp.end())
64 {
65 mp[name1] = cnt;
66 name[cnt++] = name1;
67 }
68 if(mp.find(name2)==mp.end())
69 {
70 mp[name2] = cnt;
71 name[cnt++] = name2;
72 }
73 v[mp[name1]].push_back(mp[name2]);
74 }
75 cnt = 0;
76 dfs(0, 0);
77 rmq();
78 cin>>m;
79 while(m--)
80 {
81 cin>>name1>>name2;
82 int a = mp[name1], b = mp[name2];
83 cout<<(pos[a]<pos[b]?lca(pos[a], pos[b]):lca(pos[b], pos[a]))<<endl;
84 }
85 }
86
87 return 0;
88 }
题目链接：http://hihocoder.com/problemset/problem/1069