兰州大学2005年数学分析考研试题参考解答

1(10′

)判断下列命题是否正确.

(1) 设数列 {xn}

满足: ? p∈N, limn→∞(xn+p?xn)=0

. 则 {xn}

收敛.

解答: 错! 比如对 xn=∑ni=11i

有

limn→∞(xn+p?xn)=limn→∞(1n+1+?+1n+p)=0, ? p∈N.

但 {xn}

发散.

(2) 设 f(x)

在 [a,b]

上 Riemann

可积, 则 f(x)

在 [a,b]

上一定有原函数.

解答: 错! 因为任一仅具有有限多个跳跃间断点的函数 f

均是 Riemann

可积的, 但 f

没有原函数. 这是 Darboux

告诉我们的, 他说任一导函数最多只能有第二类间断点.

(3) f(x)

在 [a,b]

上可导, 则 f′(x)

在 [a,b]

上一定 Riemann

可积.

解答: 错! 比如对于函数

f(x)=???xαsinπxβ,0,x∈(0,1],x=0,

其中 1<α<β+1, β/α∈N

. 容易知道 (a) f(x)

在 [0,1]

上处处可导, 且导函数为

f′(x)=???αxα?1sinπxβ?βπxα?β?1cosπxβ,0,x≠0,x=0.

(b) f′(x)

在 [0,1]

上不 Riemann

可积. 事实上, f′(x)

是无界的:

∣∣∣f′(1n1/α)∣∣∣=∣∣βπnβ+1?αα∣∣→∞, as n→∞.

注记:  由 (2) 与 (3),
我们知道一个函数具有原函数与它是否可积是没有必然联系的.

(4) 若二元函数 f(x,y)

在点 (x0,y0)

处可微, 则 f(x,y)

在 (x0,y0)

处的所有方向导数都存在.

解答: 对! 按定义,

?vf=v??f=df(v), ? v∈R2.

(5) 积分 ∫∞af(x)dx

收敛, g(x)

在 [a,∞)

上单调有界, 则 ∫∞af(x)g(x)dx

收敛.

解答: 对! 这就是著名的 Abel

判别法, 可通过积分第二中值定理获得.

2 (5×10′=50′

)计算下列各题.

(1)limn→∞(1n2+n+1+2n2+n+2+?+nn2+n+n)

.

解答: 由

1n2+n+n∑i=1ni≤∑i=1nin2+n+i≤1n2+n+1∑i=1ni

知原极限 =1/2

.

(2)∫10lnxdx

.

解答:

∫10lnxdx=[xlnx?x]|10=?1.

(3)求级数 ∑∞n=1(?1)n2n+1nx2n

的收敛域与和函数.

解答: 由 limn→∞∣∣(?1)n2n+1n∣∣??????????√n=1

知原级数的收敛域为 (?1,1)

. 现求级数之和:

=∑n=1∞(?1)n2n+1nx2n=2∑n=1∞(?x2)n+∑n=1∞1n(?x2)n=2??x21+x2+∫?x2011?tdt?2x21+x2?ln(1+x2).

(4)计算线积分 I=∮Cxdy?ydx3x2+4y2

, 其中 C

为椭圆 2x2+3y2=1

, 沿逆时针方向.

解答:

I=∮3x2+4y2=ε2xdy?ydx3x2+4y2=∫2π0123√dθ=3√3π.

(5)求 ?Σxdydz+ydzdx+zdxdy

, 其中 Σ

是 yoz

平面中曲线 y=z2

绕 y

轴所生成的旋转曲面在 0≤y≤1

的部分, 取外侧.

解答:

原曲面积分==3?int Σ∩{y≤1}dxdydz??x2+z2≤1dzdx3?∫10πydy?π=π2.

3 (15′

) 叙述函数列 {fn(x)}

不一致收敛到函数 f(x)

的分析定义, 并用定义证明 fn(x)=xn

在 [0,1]

上不一致收敛.

证明:

(1) fn(x)??f(x)

等价于

? ε0>0, ? n∈N, ? xn, s.t. |fn(xn)?f(xn)|≥ε0.

(2)fn(x)=xn??f(x)≡{0,1,0≤x<1x=1

于 [0,1]

上. 事实上,

∣∣∣fn(1?1n)?f(1?1n)∣∣∣=(1?1n)n→e?1, as n→∞.

4 (15′

) 设 f(x)

在 [a,∞)

上一致收敛, φ(x)

在 [a,∞)

上连续, limx→∞[f(x)?φ(x)]=0

. 证明: φ(x)

在 [a,∞)

上一致收敛.

证明: 由 limx→∞[f(x)?φ(x)]=0

知

? ε>0,? X>a+1, s.t. x≥X?|f(x)?φ(x)|<ε6.

又 f

在 [X,∞)

上一致连续,

? δ1>0, s.t. x′,x′′∈[X,∞): ∣∣x′?x′′∣∣<δ?∣∣f(x′)?f(x′′)∣∣<ε6?∣∣φ(x′)?φ(x′′)∣∣≤∣∣φ(x′)?f(x′)∣∣+∣∣f(x′)?f(x′′)∣∣+∣∣f(x′′)?φ(x′′)∣∣<ε2.

现 φ

在 [a,X]

上连续, 而一致连续:

? δ2>0, s.t. x′,x′′∈[a,X]: ∣∣x′?x′′∣∣<δ2?∣∣φ(x′)?φ(x′′)∣∣<ε2.

若取 δ=min{1,δ1,δ2}>0

, 则

x′,x′′∈[a,∞): ∣∣x′?x′′∣∣<δ?∣∣φ(x′)?φ(x′′)∣∣<ε.

5 (15′

) 设平面 x+y+z=3

截三轴于 A,B,C

三点, O

为坐标原点, P(x,y,z)

为三角形 ABC

上一点, 以 OP

为对角线, 三坐标轴为三面作一长方体. 试求其最大体积.

解答: 所求体积

V=x?y?(3?x?y)≤1,

且等号成立当且仅当 P

为 (1,1,1)

时.

6 (15′

)设 f(x)

是 [a,b]

上的连续可导函数. 记 f?1(0)={x∈[a,b]; f(0)=0}

. 假设 f?1(0)≠?

, 且对 x∈f?1(0)

, 成立 f′(x)≠0

. 证明:

(1) f?1(0)

是有限集.

(2)f?1(0)

中使 f′(x)>0

的点点个数和使 f′(x)<0

的点的个数最多相差 1

, 即成立

∣∣∣∣∑x∈f?1(0)sgn f′(x)∣∣∣∣≤1.

证明:

(1)用反证法. 若 f?1(0)

无限, 则 Weierstrass

告诉我们

? xn∈f?1(0): xn≠xm (n≠m), xn→x0∈[a,b].

于是

f(x0)=0, f′(x0)=limn→∞f(xn)?f(x0)xn?x0=0.

这与假设矛盾, 故有结论.

(2)由 (1), 不妨设

f?1(0)={x1,?,xm},

其中 xi<xi+1, i=1,2,?,m?1

. 易知 f′(xi)?f′(xi+1)<0

(否则由连续函数的介值定理知 (xi,xi+1)

内仍有 f

之零点). 于是当 i

从 1

到 m

时, sgn\ f‘(x_i)sgn f′(xi)

交替为 11

或 -1?1

, 即有 \bex \sev{\sum_{x\in f^{-1}(0)}sgn\
f‘(x)}\leq 1. \eex

∣∣∣∣∑x∈f?1(0)sgn f′(x)∣∣∣∣≤1.

7 (30‘30′

)

(1)解常微分方程 y\rd
x+(x^2y-x)\rd y=0ydx+(x2y?x)dy=0

.

(2)一致函数 y(x)y(x)

二次可导且满足 \bex y(x)=e^{2x}+\int_0^x (x-t)y(t)\rd t.
\eex

y(x)=e2x+∫x0(x?t)y(t)dt.

求 y(x)y(x)

.

解答:

(1) \bex y\rd
x-x\rd y+x^y\rd y=0, \eex

ydx?xdy+xydy=0,

\bex -y\rd \frac{1}{x}-\frac{1}{x}\rd y +y\rd
y=0, \eex

?yd1x?1xdy+ydy=0,

\bex -\rd \frac{y}{x} +\rd \frac{y^2}{2} =0,
\eex

?dyx+dy22=0,

\bex -\frac{y}{x}+\frac{y^2}{2}=C. \eex

?yx+y22=C.

(2) \bex
\left\{\ba{ll} y(x)=e^{2x}+\int_0^x(x-t)y(t)\rd t,&y(0)=1;\\
y‘(x)=2e^{2x}+\int_0^xy(t)\rd t,&y‘(0)=2; \ea\right. \eex

?????????y(x)=e2x+∫x0(x?t)y(t)dt,y′(x)=2e2x+∫x0y(t)dt,y(0)=1;y′(0)=2;

\bee\label{lz05sf_7:eq} y‘‘(x)=4e^{2x}+y(x).
\eee

由

(a) y‘‘(x)=y(x)

的通解为 \bex y(x)=c_1e^x+c_2e^{-x}; \eex

(b)y‘‘(x)=4e^{2x}+y(x)

的一特解为 \bex y(x)=\frac{4}{3}e^{2x}; \eex

知 \eqref{lz05sf_7:eq}

的通解为 \bex
y(x)=c_1e^x+c_2e^{-x}+\frac{4}{3}e^{2x}. \eex

又由 y(0)=1

, y‘(0)=2

知 \bex y(x)=-\frac{1}{2}e^x +\frac{1}{6}e^{-x}
+\frac{4}{3}e^{2x}. \eex

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