机器学习(1)之梯度下降(gradient descent)

机器学习(1)之梯度下降(gradient descent)

题记:最近零碎的时间都在学习Andrew Ng的machine learning，因此就有了这些笔记。

梯度下降是线性回归的一种(Linear Regression)，首先给出一个关于房屋的经典例子，

上表中面积和房间个数是输入参数，价格是所要输出的解。面积和房间个数分别表示一个特征，用X表示。价格用Y表示。表格的一行表示一个样本。现在要做的是根据这些样本来预测其他面积和房间个数对应的价格。可以用以下图来表示，即给定一个训练集合，学习函数h，使得h(x)能符合结果Y。

可以用以下式子表示一个样本：

θ表示X映射成Y的权重，x表示一次特征。假设x₀=1,上式就可以写成：

分别使用x^(j),y^(j)表示第J个样本。我们计算的目的是为了让计算的值无限接近真实值y，即代价函数可以采用LMS算法

要获取J(θ)最小，即对J(θ)进行求导且为零：

当单个特征值时，上式中j表示系数(权重)的编号，右边的值赋值给左边θ_j从而完成一次迭代。

单个特征的迭代如下：

多个特征的迭代如下：

上式就是批梯度下降算法(batch gradient descent)，当上式收敛时则退出迭代，何为收敛，即前后两次迭代的值不再发生变化了。一般情况下，会设置一个具体的参数，当前后两次迭代差值小于该参数时候结束迭代。注意以下几点：

(1) a 即learning rate，决定的下降步伐，如果太小，则找到函数最小值的速度就很慢，如果太大，则可能会出现overshoot the minimum的现象；

(2) 初始点不同，获得的最小值也不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；

(3) 越接近最小值时，下降速度越慢；

批梯度下降算法的步骤可以归纳为以下几步：

(1)先确定向下一步的步伐大小，我们称为Learning rate ；

(2)任意给定一个初始值：θ向量，一般为0向量

(3)确定一个向下的方向，并向下走预先规定的步伐，并更新θ向量

(4)当下降的高度小于某个定义的值，则停止下降；