幂零阵
$\bf命题:$设$n$阶矩阵$A$满足条件${A^k} = 0$且${A^{k - 1}} \ne 0$,求$Ax=0$的线性无关解的个数的最大值与最小值
$\bf命题:$设$A \in {M_n}\left( F \right)$,且${A^{n - 1}} \ne 0,{A^n} = 0$,则不存在$X \in {M_n}\left( F \right)$,使得${X^2} = A$
$\bf命题:$设$A = {\left( {{a_{ij}}} \right)_{n \times n}}$为幂零阵,且${a_{12}} \ne 0,{a_{13}} = 0,{a_{22}} = 0,{a_{23}} \ne 0$,证明:不存在矩阵$B$,使得${B^{n - 1}} = A$
$\bf命题:$
$\bf练习:$$\bf(10南开九)$设$V$为$n$维复线性空间,${\text{End}}\left( V \right)$为$V$上所有线性变换构成的线性空间,又$A,B$为$V$的子空间,$A \subset B$,令\[M = \left\{ {x \in {\text{End}}\left( V \right)|xy - yx \in A,\forall y \in B} \right\}\]若${x_0} \in M$满足$tr\left( {{x_0}y} \right) = 0,\forall y \in M$,证明:$x_0$必为幂零线性变换
秩1阵
$\bf命题:$设实矩阵$A = {\left( {{a_1}, \cdots ,{a_n}} \right)^T}\left( {{a_1}, \cdots ,{a_n}} \right)$,且$\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}^2} = 1$,证明:$\left| {E - 2A} \right| = - 1$
$\bf命题:$设$V$为数域$P$上的$n$维线性空间,$\mathcal{A}$为$V$上的线性变换,且$r\left( {\cal A} \right) = 1$,证明:若$\mathcal{A}$不可对角化,则必是幂零的
$\bf命题:$设$A,B$为$n$阶方阵,且$r(AB-BA)=1$,则$A,B$可同时上三角化
$\bf命题:$证明$X=XJ+JX$只有零解,其中$X,J$均为$n$阶方阵,且$J$的所有元素为$1$
$\bf练习:$$\bf(12华科五)$设$A$的所有元素为$1$,求$A$的特征多项式与最小多项式,并证明存在可逆阵$P$,使得${P^{ - 1}}AP$为对角阵
$\bf练习:$$\bf(10华科六)$设在${R^n}$空间中,已知线性变换$T$在任一基${e_i}$下的坐标均为${\left( {1,1, \cdots ,1} \right)^\prime }$,其中${e_i}$为单位阵的第$i$列的列向量,求$T$的特征值,并证明存在${R^n}$中的一组标准正交基,使得$T$在这组基下的矩阵为对角阵
$\bf练习:$$\bf(11华南理工七)$用$J$表示元素全为$1$的$n$阶矩阵$\left( {n \ge 2} \right)$,设$f\left( x \right) = a + bx$是有理数域$Q$上的一元多项式,令$A=f(J)$
$(1)$求$J$的全部特征值与特征向量
$(2)$求$A$的所有特征子空间
$(3)$$A$是否可对角化?如果可对角化,求$Q$上的一个可逆阵$P$,使得${P^{ - 1}}AP$为对角阵,并写出这个对角阵
附录1(幂零阵)
$\bf命题1:$$A$为幂零阵当且仅当$A$的特征值全为$0$
$\bf命题2:$设$A$为$n$阶幂零阵,则$\left| {E + A} \right| = 1$
$\bf命题3:$设$A \in {M_n}\left( F \right)$,且对任意$k \in {Z^ + }$,有$tr\left( {{A^k}} \right) = 0$,则$A$为幂零阵
$\bf命题4:$
附录2(秩1阵)
$\bf命题1:$$n$阶矩阵$A$的秩为$1$的充要条件是存在非零列向量$\alpha ,\beta $,使得$A = \alpha \beta ‘$
$\bf命题2:$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量,且$A = \alpha \beta ‘$,则${A^2} = tr\left( A \right) \cdot A$,进而${A^k} = tr{\left( A \right)^{k -1}} \cdot A$
$\bf命题3:$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量,且$A = \alpha \beta ‘$,求$A$的特征值与特征向量
$\bf命题4:$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量,且$A = \alpha \beta ‘$,求$A$的最小多项式
$\bf命题5:$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量,且$A = \alpha \beta ‘$,则$A$相似于对角阵的充要条件是$tr\left( A \right) \ne 0$
$\bf命题6:$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量,且$A = \alpha \beta ‘$,若$tr(A)=0$,则$A$为幂零阵
1
$\bf命题7:$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量,且$A = \alpha \beta ‘$,求$A$的$Jordan$标准形