关于幂零阵与秩1阵的专题讨论

幂零阵

$\bf命题:$设$n$阶矩阵$A$满足条件${A^k} = 0$且${A^{k - 1}} \ne 0$,求$Ax=0$的线性无关解的个数的最大值与最小值

1

$\bf命题:$设$A \in {M_n}\left( F \right)$,且${A^{n - 1}} \ne 0,{A^n} = 0$,则不存在$X \in {M_n}\left( F \right)$,使得${X^2} = A$

1

$\bf命题:$设$A = {\left( {{a_{ij}}} \right)_{n \times n}}$为幂零阵,且${a_{12}} \ne 0,{a_{13}} = 0,{a_{22}} = 0,{a_{23}} \ne 0$,证明:不存在矩阵$B$,使得${B^{n - 1}} = A$

1

$\bf命题:$

$\bf练习:$$\bf(10南开九)$设$V$为$n$维复线性空间,${\text{End}}\left( V \right)$为$V$上所有线性变换构成的线性空间,又$A,B$为$V$的子空间,$A \subset B$,令\[M = \left\{ {x \in {\text{End}}\left( V \right)|xy - yx \in A,\forall y \in B} \right\}\]若${x_0} \in M$满足$tr\left( {{x_0}y} \right) = 0,\forall y \in M$,证明:$x_0$必为幂零线性变换

秩1阵

$\bf命题:$设实矩阵$A = {\left( {{a_1}, \cdots ,{a_n}} \right)^T}\left( {{a_1}, \cdots ,{a_n}} \right)$,且$\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}^2}  = 1$,证明:$\left| {E - 2A} \right| =  - 1$

$\bf命题:$设$V$为数域$P$上的$n$维线性空间,$\mathcal{A}$为$V$上的线性变换,且$r\left( {\cal A} \right) = 1$,证明:若$\mathcal{A}$不可对角化,则必是幂零的

1

$\bf命题:$设$A,B$为$n$阶方阵,且$r(AB-BA)=1$,则$A,B$可同时上三角化

$\bf命题:$证明$X=XJ+JX$只有零解,其中$X,J$均为$n$阶方阵,且$J$的所有元素为$1$

1   2

$\bf练习:$$\bf(12华科五)$设$A$的所有元素为$1$,求$A$的特征多项式与最小多项式,并证明存在可逆阵$P$,使得${P^{ - 1}}AP$为对角阵

$\bf练习:$$\bf(10华科六)$设在${R^n}$空间中,已知线性变换$T$在任一基${e_i}$下的坐标均为${\left( {1,1, \cdots ,1} \right)^\prime }$,其中${e_i}$为单位阵的第$i$列的列向量,求$T$的特征值,并证明存在${R^n}$中的一组标准正交基,使得$T$在这组基下的矩阵为对角阵

$\bf练习:$$\bf(11华南理工七)$用$J$表示元素全为$1$的$n$阶矩阵$\left( {n \ge 2} \right)$,设$f\left( x \right) = a + bx$是有理数域$Q$上的一元多项式,令$A=f(J)$

$(1)$求$J$的全部特征值与特征向量

$(2)$求$A$的所有特征子空间

$(3)$$A$是否可对角化?如果可对角化,求$Q$上的一个可逆阵$P$,使得${P^{ - 1}}AP$为对角阵,并写出这个对角阵

1

附录1(幂零阵)

$\bf命题1:$$A$为幂零阵当且仅当$A$的特征值全为$0$

1

$\bf命题2:$设$A$为$n$阶幂零阵,则$\left| {E + A} \right| = 1$

1

$\bf命题3:$设$A \in {M_n}\left( F \right)$,且对任意$k \in {Z^ + }$,有$tr\left( {{A^k}} \right) = 0$,则$A$为幂零阵

1

$\bf命题4:$

附录2(秩1阵)

$\bf命题1:$$n$阶矩阵$A$的秩为$1$的充要条件是存在非零列向量$\alpha ,\beta $,使得$A = \alpha \beta ‘$

1   2

$\bf命题2:$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量,且$A = \alpha \beta ‘$,则${A^2} = tr\left( A \right) \cdot A$,进而${A^k} = tr{\left( A \right)^{k -1}} \cdot A$

1

$\bf命题3:$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量,且$A = \alpha \beta ‘$,求$A$的特征值与特征向量

1

$\bf命题4:$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量,且$A = \alpha \beta ‘$,求$A$的最小多项式

1

$\bf命题5:$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量,且$A = \alpha \beta ‘$,则$A$相似于对角阵的充要条件是$tr\left( A \right) \ne 0$

1

$\bf命题6:$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量,且$A = \alpha \beta ‘$,若$tr(A)=0$,则$A$为幂零阵

1

$\bf命题7:$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量,且$A = \alpha \beta ‘$,求$A$的$Jordan$标准形

1

时间: 2024-10-14 10:00:40

关于幂零阵与秩1阵的专题讨论的相关文章

关于秩1阵与全1阵的专题讨论

秩$1$矩阵 $\bf命题:$设实矩阵$A = {\left( {{a_1}, \cdots ,{a_n}} \right)^T}\left( {{a_1}, \cdots ,{a_n}} \right)$,且$\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}^2}  = 1$,证明:$\left| {E - 2A} \right| =  - 1$ $\bf练习:$$\bf(09南开五)$设$V$为数域$P$上的$n$维线性空间,$\mathcal{A}$为$V$上的线性变换,且$r\l

实对称阵可对角化的几种证明

实对称阵是一类常见的矩阵, 它与实二次型和实内积空间上的自伴随算子有着密切的联系. 任一实对称阵 $A$ 均正交相似于对角阵, 即存在正交阵 $P$, 使得 $P'AP=\mathrm{diag\,}\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}$, 这是实对称阵的一条重要性质, 通常在内积空间理论的框架中加以证明. 然而, 实对称阵可对角化这一性质可以在引入矩阵可对角化的定义和判定准则后直接加以证明, 也可以利用 Jordan 标准型理论加以证明. 下面给出实

C语言——打印魔方阵(每一行,每一列,对角线之和相等)

<一>魔方阵说明: 魔方阵是一个N*N的矩阵: 该矩阵每一行,每一列,对角线之和都相等: <二>魔方阵示例: 三阶魔方阵: 8   1   6 3   5   7 4   9   2 每一行之和:8+1+6=15: 3+5+7=15: 4+9+2=15: 每一列之和:8+3+4=15: 1+5+9=15: 6+7+2=15: 对角线之和:8+5+2=15: 6+5+4=15: <三>魔方阵计算规律(行,列以1开始): 1.将“1”放在第一行,中间一列: 2.从2开始至N

正规阵

正规阵定义:方阵A有$A^HA=AA^H=I$,$A \in C^{n \times n}$ 常见正规阵: (1)Hermite阵都是正规阵 (2)斜Hermite阵都是正规阵 (3)酉阵都是正规阵 (4)对角阵都是正规阵 正规阵的性质: (1)若$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}B&C\\0&D\end{array}} \right]$正规,B和C都为方阵,则$C=0$且B和D都正规 (2)若$A = \left[ {\begin{array}{*{

【转】秩亏自由网平差

秩亏自由网平差 在前面介绍的经典平差中,都是以已知的起算数据为基础,将控制网固定在已知数据上.如水准网必须至少已知网中某一点的高程,平面网至少要已知一点的坐标.一条边的边长和一条边的方位角.当网中没有必要的起算数据时,我们称其为自由网,本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法,即自由网平差. 在经典间接平差中,网中具备必要的起算数据,误差方程为                                          (8-2-1) 式中系数阵为列满秩矩阵,其秩为 .在最小二乘准则下得到的

奇异值分解(转载)

转载自:http://blog.csdn.net/zhongkejingwang/article/details/43053513 在网上看到有很多文章介绍SVD的,讲的也都不错,但是感觉还是有需要补充的,特别是关于矩阵和映射之间的对应关系.前段时间看了国外的一篇文章,叫A Singularly Valuable Decomposition The SVD of a Matrix,觉得分析的特别好,把矩阵和空间关系对应了起来.本文就参考了该文并结合矩阵的相关知识把SVD原理梳理一下. SVD不仅

层次分析模型(AHP)及其MATLAB实现

今天用将近一天的时间学习了层次分析模型(AHP),主要参考了一份pdf,这个网站,和暨南大学章老师的课件,现写出一些自己总结的要点. 一.层次分析法的基本步骤: 角度一: 实际问题——分解——>多个因素——建立——>层次结构— —确定——>诸因素的相对重要性——计算——>权向量— —判断——>综合决策 角度二: 建立层次结构模型——>构造判断矩阵——>层次单排序——>一致性检验——>层次总排序. 二.几个理解的重点 1.正反矩阵 若矩阵A=(aij)m

矩阵的SVD分解

转自 http://blog.csdn.net/zhongkejingwang/article/details/43053513(实在受不了CSDN的广告) 在网上看到有很多文章介绍SVD的,讲的也都不错,但是感觉还是有需要补充的,特别是关于矩阵和映射之间的对应关系.前段时间看了国外的一篇文章,叫A Singularly Valuable Decomposition The SVD of a Matrix,觉得分析的特别好,把矩阵和空间关系对应了起来.本文就参考了该文并结合矩阵的相关知识把SVD

Matlab矩阵基本操作(定义,运算)

转自:http://blog.csdn.net/perfumekristy/article/details/8119861 一.矩阵的表示在MATLAB中创建矩阵有以下规则: a.矩阵元素必须在”[ ]”内: b.矩阵的同行元素之间用空格(或”,”)隔开: c.矩阵的行与行之间用”;”(或回车符)隔开: d.矩阵的元素可以是数值.变量.表达式或函数: e.矩阵的尺寸不必预先定义. 二,矩阵的创建: 1.直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素,输入的方法按照上面的规则.建立向