二次插值

对于一个二次函数$f(x)=Ax^2+Bx+C$，已知$x_0,y_0,x_1,y_1,y_1‘$，求极值点$x^*$。

已知

$$\begin{cases} Ax^2_0+Bx_0+C=y_0 \\ Ax^2_1+Bx_1+C=y_1 \\ 2Ax_1+B=y_1‘ \\ \end{cases}$$

求

$$x^*=-\frac{B}{2A}$$

得到结果

$$x^*=\frac{2x_1\Delta y-y_1‘(x_1^2-x_0^2)}{2(\Delta y-y_1‘\Delta x)}$$

其中$\Delta x=x_1-x_0$，$\Delta y=y_1-y_0$