BZOJ3739 : DZY loves math VIII

显然当且仅当$\gcd(i,j)=1$时才对答案有贡献，化简得

\[\begin{eqnarray*}
ans&=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\mu(ij)[\gcd(i,j)=1]\\
&=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\mu(ij)\sum_{d|i,d|j}\mu(d)\\
&=&\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)\sum_{j=1}^{\frac{i}{d}}\mu(dj)
\end{eqnarray*}\]

设

\[S(i,d)=\sum_{j=1}^{\frac{i}{d}}\mu(dj)\]

则

\[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)S(i,d)\]

当且仅当$i$是square-free的时候，才对答案有贡献。此时将$i$分解质因数，然后暴力搜索所有约数，一边搜索一边更新$S(i,d)$以及$ans$即可。

#include<cstdio>
#define N 10000010
int T,n,i,j,A,B,q[1010],tot,p[700000],v[N],s[N];char mu[N];short f[N];
void dfs(int x,int y){
  if(x==tot){
    f[y]+=A;
    if(mu[y]>0)B+=f[y];else B-=f[y];
    return;
  }
  dfs(x+1,y*p[x]),dfs(x+1,y);
}
int main(){
  scanf("%d",&T);
  for(i=1;i<=T;i++){
    scanf("%d",&q[i]);
    if(q[i]>n)n=q[i];
  }
  for(mu[1]=v[1]=1,i=2;i<=n;i++){
    if(!v[i])p[tot++]=v[i]=i,mu[i]=-1;
    for(j=0;j<tot;j++){
      if(i*p[j]>n)break;
      v[i*p[j]]=p[j];
      if(i%p[j])mu[i*p[j]]=-mu[i];else break;
    }
  }
  for(i=1;i<=n;i++){
    s[i]=s[i-1];
    if(mu[i]){
      for(tot=0,j=i;j>1;j/=v[j])p[tot++]=v[j];
      A=mu[i],B=0,dfs(0,1);
      if(mu[i]>0)s[i]+=B;
      if(mu[i]<0)s[i]-=B;
    }
  }
  for(i=1;i<=T;i++)printf("%d\n",s[q[i]]);
  return 0;
}