积分等式与积分不等式

设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续非负函数, 找出满足条件 $$\bex \int_0^1 f(x)\rd x=1,\quad \int_0^1 xf(x)\rd x=a,\quad \int_0^1 x^2f(x)\rd x=a^2 \eex$$ 的所有 $f$, 其中 $a$ 为给定实数. 解答: 由 $$\beex \bea a^2&=\sex{\int_0^1 xf(x)\rd x}^2\\ &=\sex{\int_0^1 \sqrt{f(x)}\cdot x\sqrt{f(

拓扑学中凝聚点的几个等价定义(2017-06-12 07:51) 江苏省2017年高等数学竞赛本二试题(含解答)(2017-06-10 20:59) 裴礼文数学分析中的典型问题与方法第4章一元函数积分学练习(2017-06-10 11:04) 2017年厦门大学第十四届景润杯数学竞赛试卷(数学类)评分标准(2017-06-05 15:31) 2017年华东师范大学数学竞赛(数学类)试题(2017-06-05 15:28) 裴礼文数学分析中的典型问题与方法第3章一元微分学练习(2017-05-30

[再寄小读者之数学篇](2014-06-28 证明级数几乎处处收敛) 设 $f\in L(\bbR)$, 试证: $$\bex \vsm{n}f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数. [再寄小读者之数学篇](2014-06-27 向量公式: The Hall term) $$\bex \n\cdot{\bf b}=0\ra \n\times [(\n\times {\bf b})\times {\bf b}]=\n\times [\n\cdot

真题 证明函数不等式 一定要时刻明白自己在证什么!!! 证明函数不等式常用的有以下五种方法: 利用函数单调性 利用拉格朗日中值定理 利用函数的最大最小值 利用泰勒公式 利用凹凸性(定义或性质) 利用单调性 利用拉格朗日中值定理 利用函数的最大最小值 利用泰勒公式 利用凹凸性(定义或性质) 方程根的存在性与个数 方程根的问题通常是两个基本问题: 根的存在性问题: 利用连续函数的零点定理 若f(x)在[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根: 利用罗

欧拉是数学家心目中的英雄,欧拉积分具有重要的应用.先给出欧拉积分的性质以便为进入分数阶微积分打下基础. 1.1 $\beta$函数定义 B(α,β)=∫10xα?1(1?x)β?1dx 易看出$0$和$1$为奇点,积分在$\alpha>0,\beta>0$时收敛.a.对称性 B(α,β)=B(β,α) 只需作积分变量代换$x=1-t$即可. B(α,β)===∫10xα?1(1?x)β?1dx∫10(1?t)α?1tβ?1dtB(β,α) b.递推公式如果$\alpha>1$,那么成立等

之前关于二重积分的笔记,介绍了二重积分概念的引入,但是对于它的计算方法(化为累次积分),介绍的较为模糊,它在<概率论基础教程>中一系列的推导中发挥着很重要的作用. 回想先前关于二重积分的几何含义,求解一个曲顶圆柱的体积,我们用如下的符号进行定义: 现在我们通过另外一条路径,再次得到几何体的体积,便可以建立等式,那么对于一般的二重积分,我们就找到了计算方法. 看这样一个图: 落在x-O-y上的面积就是被积区域D,几何体的顶部z=f(x,y)就是被积函数,为了求解这个几何体的体积,我们采取先求侧面

这一章节讨论积分的定义以及微积分基本定理. 笔者先前在数学证明专栏中关于高斯定理的证明的开头,给出了一段关于微积分思想的概括,文中提到根据导数(微分)的定义,根据其逆定义来给出积分的定义和计算方法,这里其实是及其不严谨的,积分本身有着自己的定义,而其计算方法正是微积分基本定理所呈现出来的东西. 积分的定义: 积分的现代定义的本质就是黎曼和,笔者之前关于多重积分定义的引入其实就已经提到过,这里是对一维的积分进行定义,相对二重.三重积分则会简单很多. 理论总是源于实际问题嘛,在解决曲线和坐标系围成的

这一章节我们开始对多重积分的研究. 在此之前,我们首先来回忆起积分的过程,在平面中,面临求解不规则图形的面积(常叫曲边梯形)的时候,我们可以采取建立直角坐标系,然后通过得到不规则图形边界的函数表达式f(x),对f(x)求解一次定积分即可.其方法就是先微分(将自变量区间划分为n个区间段),引入极限的概念(即使得n趋向无穷)之后使得我们能够“化曲为直”,然后利用矩形的面积公式进行求解.随后是积分过程,将这n个小矩形相加求极限,可得曲边梯形的面积. 如下几图使得这个过程更加的直观. Sp又叫做,f(x

第一型曲线积分 第一型曲线的应用背景 弧长 加权曲线 \(\mathrm I\) 型曲线积分定义 分割,取近似,作和,取极限. 极限存在,与分割法无关 空间曲线弧长:加权(线密度)的平面(权连续的)曲线. 总结成一般的点函数形式\(\int_{\Gamma_{AB}}f(p)\,\mathrm ds=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^nf(p_i)\Delta s_i\) 再说意义 弧长 \(\sum\limits_{k=0}^n|M_{k-1