这题我在考场上也是想出了正解的……但是没调出来。
题目链接：CF原网
题目大意：给一个长度为 $n$ 的序列 $a$，$q$ 个操作：区间乘 $x$，求区间乘积的欧拉函数模 $10^9+7$ 的值。
$1\le n\le 4\times 10^5,1\le q\le 2\times 10^5,1\le a_i,x\le 300$。时限 5.5s，空限 256MB。
明显线段树。
有一个想法是维护区间积的欧拉函数，但是这样时间复杂度和代码复杂度都很高……
我的做法是维护区间积。而欧拉函数，就是看看区间中包含什么质因子，然后除一下乘一下好了。
区间积就不用说了。
包含什么质因子？难道要开bool数组吗？时间复杂度很高……
经过后台黑科技操作发现 $300$ 以内的质数只有 $62$ 个。明摆着状压的节奏！
好的，这题做完了。细节的东西在代码中都有。
对于我的代码实现来说：（以下令 $k=62$）
建树 $O(kn)$。
合并节点 $O(1)$。
下推标记 $O(\log n)$。
区间乘 $O(\log^2 n+k)$。
查询欧拉函数 $O(\log n+k)$。
总时间复杂度应该是 $O((n+q)k+q\log^2n)$。其实跑得不慢，我跑得最慢的点是1934ms。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=400040,mod=1000000007;
#define lson o<<1,l,mid
#define rson o<<1|1,mid+1,r
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){
char ch=getchar();int x=0,f=0;
while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘) f|=ch==‘-‘,ch=getchar();
while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
return f?-x:x;
}
int n,q,pri[66],pl,a[maxn],inv[333],f[66],tag1[maxn*4]; //tag1表示区间要乘多少
ll tag2[maxn*4]; //tag2表示区间会多出哪些质因子（也是压缩过的）
//为什么要两个标记呢？不能直接对tag1分解质因子吗？
//因为tag1乘几遍就会被取模，这样看起来质因子就变了。所以额外加一个tag2表示真的质因子集合。
bool vis[333];
void init(){
FOR(i,2,300){
if(!vis[i]) pri[++pl]=i;
for(int j=1;j<=pl && i*pri[j]<=300;j++){
vis[i*pri[j]]=true;
if(i%pri[j]==0) break;
}
}
inv[1]=1;
FOR(i,2,300) inv[i]=mod-1ll*(mod/i)*inv[mod%i]%mod;
FOR(i,1,pl) f[i]=1ll*inv[pri[i]]*(pri[i]-1)%mod;
//f[i]表示除以p[i]，再乘上p[i]-1，便于计算欧拉函数
}
inline int qpow(int a,int b){
int ans=1;
for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
return ans;
}
struct node{
int pro;ll has;
}nd[maxn*4]; //一个线段树节点，pro是区间积，has是区间包含哪些质因子（压缩过的）
void pushup(node &o,node l,node r){ //合并
o.has=l.has|r.has; //直接取或
o.pro=1ll*l.pro*r.pro%mod;
}
void setmult(int o,int l,int r,int x,ll y){ //对第o个节点（管辖[l,r]）区间乘x，质因子多了y
tag1[o]=1ll*tag1[o]*x%mod;
tag2[o]|=y;
nd[o].pro=1ll*nd[o].pro*qpow(x,r-l+1)%mod; //记得乘r-l+1次方
nd[o].has|=y;
}
void pushdown(int o,int l,int r){ //下传标记
if(!tag2[o]) return;
int mid=(l+r)>>1;
setmult(lson,tag1[o],tag2[o]);
setmult(rson,tag1[o],tag2[o]);
tag1[o]=1;tag2[o]=0; //记得tag1闲置时是1
}
void build(int o,int l,int r){
tag1[o]=1;tag2[o]=0;
if(l==r){
nd[o].pro=a[l];
FOR(i,1,pl) //记录质因子集合
if(a[l]%pri[i]==0) nd[o].has|=1ll<<(i-1);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(lson);build(rson);
pushup(nd[o],nd[o<<1],nd[o<<1|1]);
}
void mult(int o,int l,int r,int ql,int qr,int x,ll y){ //外面调用时先把质因子集合弄好，会省时间
if(l>=ql && r<=qr){
setmult(o,l,r,x,y); //直接设上
return;
}
pushdown(o,l,r);
int mid=(l+r)>>1;
if(mid>=ql) mult(lson,ql,qr,x,y);
if(mid<qr) mult(rson,ql,qr,x,y);
pushup(nd[o],nd[o<<1],nd[o<<1|1]);
}
node query(int o,int l,int r,int ql,int qr){
if(l>=ql && r<=qr) return nd[o];
pushdown(o,l,r);
int mid=(l+r)>>1;
if(mid<ql) return query(rson,ql,qr);
if(mid>=qr) return query(lson,ql,qr);
node ans;
pushup(ans,query(lson,ql,qr),query(rson,ql,qr)); //合并两边
return ans;
}
int main(){
init();
n=read();q=read();
FOR(i,1,n) a[i]=read();
build(1,1,n);
FOR(i,1,q){
char op[11];
scanf("%s",op);
int l=read(),r=read();
if(op[0]==‘M‘){ //乘操作
int x=read();ll y=0;
FOR(i,1,pl) if(x%pri[i]==0) y|=1ll<<(i-1); //先处理质因子集合
mult(1,1,n,l,r,x,y);
}
else{ //求欧拉函数操作
node ans=query(1,1,n,l,r);
int s=ans.pro; //区间积
FOR(i,1,pl) if(ans.has&(1ll<<(i-1))) s=1ll*s*f[i]%mod; //区间含有第i个质数，那就要除以p[i]，再乘上p[i]-1
printf("%d\n",s);
}
}
}
原文地址：https://www.cnblogs.com/1000Suns/p/10362224.html
时间： 2024-08-29 10:35:23