Floyd算法的原理和实现

一.算法介绍

Floyd算法是一种在有向图中求最短路径的算法。相比不能再有向图中包含负权值的dijkstra算法，Floyd算法可以用在拥有负权值的有向图中求解最短路径（不过不能包含负权回路）。它是一种求解有向图中点与点之间最短路径的算法。

我们检查有向图中的每一个节点X，对于图中过的2点A和B，如果有Dis（AX）+Dis（XB）<Dis（AB），那么使得Dis（AB）=Dis（AX）+Dis（XB)。当所有的节点X遍历完后，AB的最短路径就求出来了。

所以，核心代码很简单，其中N是顶点个数，时间复杂度为O（N^3）

其中要注意3个for循环的嵌套顺序

void floyd(int N)
{
	int i,j,k;
	for(k=0;k<N;k++)
	{
		for(i=0;i<N;i++)
		{
			for(j=0;j<N;j++)
			{
				if(Dis[i][k]+Dis[k][j]<Dis[i][j])
				{
					Dis[i][j]=Dis[i][k]+Dis[k][j];

				}
			}
		}
	}

}

二.算法的原理

Floyd算法原理是一种动态规划的思想。

设A^k(i,j)表示从i点到j点索引号不大于K的最短路径，

则求出最短路径，可表示为

for（K=0；K<N；K++）

然后依次求A0(i,j), A1(i,j),
..., An(i,j) ，其中A0（i，j）表示初始化时候的图

在这个过程中，我们要先求A0(i，j)才能求A1（i，j），再求A2（i，j）.....所以这是一种自底向上的设计思想，为什么要先求A0(i，j)才能求A1（i，j），再求A2（i，j）呢.....

因为算法的运行过程是这样的。

我们可以由A^k(i,j)求出A^k-1(i,j)，那么对于A^k(i,j)来说，无外乎2种情况

第一种：

A^k(i,j)不经过点k，此时

A^k(i,j)=A^k-1(i,j)

因为对于索引号不经过k的2个点i，j，竟然经过k了，那么就应该在索引号不大于K-1里面找最短路径了

第二种：

A^k(i,j)经过了点k，此时

A^k(i,j)=A^k-1(i,k)+A^k-1(i,k)

因为经过了k，所以此时路径分2部分，一部分是从i到k，另外一部分是k，到j，因为k此时已经作为了2部分路径的起点或者终点，所以此时要求这2部分的最短路径时，就是使用A^k-1(i,k)和A^k-1(i,k)。这是一种DP的思想。

那么2种情况我最后肯定是选路径断的那一条，

所以A^k(i,j)
= min( A^k-1(i,j), A^k-1(i,k)
+ A^k-1(k,j) )

这一步其实就对应了代码部分的：

if(Dis[i][k]+Dis[k][j]<Dis[i][j])
{
   Dis[i][j]=Dis[i][k]+Dis[k][j];
}

三:打印路径

用path[i][j]纪录路径信息。

假设我们存在路径1→5→7→9，那么先求path[1][9]=7，再求path[1][7]=5，再求path[1][5]=1。

所以，算法应该改为，其中加入path[i][j]=k，因为当路径更新，该路径进过了k点，所以要纪录下来

void floyd(int N)
{
	int i,j,k;
	for(k=0;k<N;k++)
	{
		for(i=0;i<N;i++)
		{
			for(j=0;j<N;j++)
			{
				if(Dis[i][k]+Dis[k][j]<Dis[i][j])
				{
					Dis[i][j]=Dis[i][k]+Dis[k][j];
					path[i][j]=k;

				}
			}
		}
	}

}

path[i][j]初始化代码：

一开始我们假设图的任意2点都是连接的

	for(i=0;i<N;i++)
	{
		for(j=0;j<N;j++)
		{
			path[i][j]=i;
		}
	}

四：源码

该代码用邻接矩阵存储图，输入1000表示2个顶点不可达（权值无限大）

#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;
#define MAX 1000
int Graph[MAX][MAX];
int Dis[MAX][MAX];
#define infinite 1000
int path[MAX][MAX];

void floyd(int N)
{
	int i,j,k;
	for(k=0;k<N;k++)
	{
		for(i=0;i<N;i++)
		{
			for(j=0;j<N;j++)
			{
				if(Dis[i][k]+Dis[k][j]<Dis[i][j])
				{
					Dis[i][j]=Dis[i][k]+Dis[k][j];
					path[i][j]=k;

				}
			}
		}
	}

}

void print_path(int N)
{
	int i,j;
	for(i=0;i<N;i++)
	{
		for(j=0;j<N;j++)
		{
			if((i!=j) &&Dis[i][j]!=infinite)
			{
				cout<<i+1<<"----"<<j+1<<"   distance:"<<Dis[i][j]<<endl;
				cout<<"path:"<<endl;
				int k=j;
				stack <int> ph;
				do
				{
					k=path[i][k];
					ph.push(k);
				}while(k!=i);
				cout<<ph.top()+1;
				ph.pop();
				while(!ph.empty())
				{
					cout<<"->"<<ph.top()+1;
					ph.pop();
				}
				cout<<"->"<<j+1<<endl;
			}
		}
	}
}

void main()
{
	int N,i,j;
	cin>>N;
	for(i=0;i<N;i++)
	{
		for(j=0;j<N;j++)
		{
			int g;
			cin>>g;
			Graph[i][j]=g;
			Dis[i][j]=g;
		}
	}
//初始化路径
		for(i=0;i<N;i++)
	{
		for(j=0;j<N;j++)
		{
			path[i][j]=i;
		}
	}
	floyd(N);
	print_path(N);
    system("pause");
}

测试用的图：

测试结果：