HDU4828 Grids 2014百度之星初赛题解

看看Catalan数的公式：为 Catalan(n) = C(2n, n) / n+1 = C(2n, n) - C(2n, n-1); （公式0）

然后利用全排序表达：Catalan(n) = (2n)! / (n+1) * (n)!*n!;

那么Catalan(n-1) = (2(n-1))! / n * (n-1)!(n-1)!;

然后两者相除就得到：Catalan(n) = (4*n-2) / (n+1)
（公式1）//这个就是递归的终极公式了。

一般使用动态规划的递推公式是：Catalan(n) = Catalan(0) * Catalan(n-1) + Catalan(1) * Catalan(n-2) + ... + Catalan(n-1) * Catalan(0);（公式2）

公式1自然比公式2快上一个档次了。以前只会用公式2，使用动态规划或者公式0去做，速度自然慢了。

这就这道题目的要诀了。惭愧啊，当时居然没做出来，因为当时数学水平没跟上。经过一个多月的学习数学，参考了一下网上的程序，终于开窍了。

不过安慰下自己，就是当时做出来的人好像才200人多一点，而且资格赛四道题也不过200人多点做出来的，恰好我做完了。

算法高手到底有多少呢？不少，也不多。-- 废话。

呵呵，给大家一个衡量的大概尺度，可以把这道题做出来的人应该可以说是高手了，起码数学这块过关了。

记得一个好像是什么外国语学院的，居然几分钟做出来了，还是外国语学院的，难倒是英语高手+算法高手，厉害。

当然我也是英语高手，呵呵。

扯远了，最后是所谓乘法逆元问题，可以套模板程序了，要知道推导可以参考组合数学书。

就是GCD扩展的算法。扩展之后的系数就是乘法逆元了。

#include <stdio.h>

const int N = 1000001;
const long long MOD = (long long)1E9 + 7LL;
long long g;

void extGCD(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
	if(b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		g = a;
		return ;
	}
	extGCD(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
}

long long modReverse(long long a, long long n)
{
	long long x, y;
	extGCD(a, n, x, y);
	return (x + n) % n;
}

long long Catalan[N];	//0 1 2 3 4  5  6   7   8    9    10    11    12
void genCatalan()	//1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796 58786 208012
{
	Catalan[0] = Catalan[1] = 1LL;
	for (int i = 2; i < N; i++)
	{
		long long tmp = modReverse(i+1LL, MOD);
		Catalan[i] = Catalan[i - 1] * ((i<<2) - 2) % MOD * tmp % MOD;
	}
}

int main()
{
	genCatalan();
	int T, num;
	scanf("%d", &T);
	for (int t = 1; t <= T; t++)
	{
		scanf("%d", &num);
		printf("Case #%d:\n%I64d\n", t, Catalan[num]);
	}
	return 0;
}

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