关于最大匹配，最小点覆盖，最少路径覆盖和最大独立集的总结

(1)二分图的最大匹配

匈牙利算法

(2)二分图的最小点覆盖

二分图的最小点覆盖=二分图的最大匹配

求最小点覆盖：从右边所有没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求DFS。最终右边没有访问过的点和左边访问过的点组成最小点覆盖。

证明见这里

(3)二分图的最少边覆盖

二分图的最少边覆盖=点数-二分图的最大匹配

证明：

先贪心选一组最大匹配的边放进集合，对于剩下的没有匹配的点，随便选一条与之关联的边放进集合，那么得到的集合就是最小边覆盖。

所以有：最小边覆盖=最大匹配+点数-2*最大匹配=点数-最大匹配

(4)二分图的最大独立集

二分图的最大独立集=点数-二分图的最大匹配

证明：

我们可以这样想，先把所有的点放进集合，然后删去最少的点和与之相关联的边，使得全部边都被删完，这就是最小点覆盖。所以有：最大独立集=点数-最小点覆盖

(5)有向无环图的最少不相交路径覆盖

我们把原图中的点$V$拆成两个点$Vx$和$Vy$，对于原图中的边$A->B$，我们在新图中连$Ax->By$。那么最少不相交路径覆盖=原图的点数-新图的最大匹配

证明：

一开始每个点都独立为一条路径，在二分图中连边就是将路径合并，每连一条边路径数就减一。因为路径不能相交，所以不能有公共点，这恰好就是匹配的定义。所以有：最少不相交路径覆盖=原图的点数-新图的最大匹配

友情题：

bzoj1143[CTSC2008]祭祀river

(6)有向无环图的最少可相交路径覆盖

先用floyd求出原图的传递闭包， 如果a到b有路， 那么就加边a->b。 然后就转化成了最少不相交路径覆盖问题。

(7)有向无环图中最少不相交路径覆盖和最大独立集的相互转化

用偏序集，建议先看看这篇博客

有向无环图的最大独立集=有向无环图最少不相交路径覆盖

友情题：

bzoj3997[TJOI2015]组合数学

(8)二分图的带权最大匹配

KM算法。