题意:
n,a,b,k(2?≤?n?≤?5000,1?≤?k?≤?5000,1?≤?a,?b?≤?n,a?≠?b).四个数.1到n的数,顺序排列,其实位置人在a位置而中心位置在b,人每次只能走一个点走动的距离必须小于|b?a|,人走k步之后停止,问人一共有多少种走法.
分析:
开始很容易想到一个深度优先搜索实现递归方法dfs(a, k)但k变为0就到达搜索底部,这样时间复杂度是O(nk)显然非常不好.
然后可以想到会有重算的情况,就可以加一个记忆优化把算过的(a,k)的二元组都保存下来.这样处理之后复杂度是O(n2?k),递归调用的话本来效率就不高,本地跑一个大数都要十多秒..
然后把记忆优化改为递推的形式:设dp[i][j]为第i个数剩下有j步的走法总数.有这样的状态转移方程:
dp[i][j]=∑k = max(1,i?|b?a|+1)min(n,i+|b?a|?1)dp[k][j?1]
这样的复杂度是O(k?n2)的显然超时,只是相比记忆优化的递归消耗要快了些.这里注意到是求区间和的最内层循环耗费了时间,就可以通过解决区间和的前缀数组来解决.其所称谓的前缀数组就是令:
s[k] = ∑i = 1kp[i][j?1]
这样就可以在O(1)的时间算出区间[x, y]的和为:s[y]?s[x?1]加上前缀数组的优化,整个算法复杂度就是O(n*k)显然可以承受了.
我以为已经理论ac了然而no,这里还有一个困扰了很久的点就是答案巨大需要对1000000007取余.取于的姿势很容易错.*这里要明白取于和取模的区别,计算机叫取模,数学叫取余,在负数的时候会有差别,甚至不太系统定义不一样,因为负数参与取余压根就没有多少实际意义,所以在程序中没有理由对负数和减法取余.对加法取余数是为了防止爆longlong,对减法毫无意义.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n, a, b, kk;
const LL mod = 1000000007;
LL dp[5009], s[5009];
int main(void)
{
while (cin >> n >> a >> b >> kk) {
for (int i = 0; i <= n; i++) dp[i] = i;
for (int j = 1; j <= kk; j++) {
for (int i = 1; i <= n; i++ ){
s[i] = ( ( dp[i - 1] - dp[max(1, i - (abs(b - i) - 1)) - 1] ) % mod+ (dp[min(n, i + abs(b - i) - 1)]- dp[i])%mod )%mod;
}
for (int i = 1; i <= n;i ++) dp[i] = dp[i - 1] + s[i];
}
cout << s[a] % mod << endl;
}
return 0;
}
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