1. 初等函数包括：代数函数和超越函数。
能用一个解析式表示的函数。
2. 代数函数：
3. 超越函数：
超越函数(Transcendental Functions)指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。
超越函数是指那些不满足任何以多项式作系数的多项式方程的函数。
4. 单项式和多项式
单项式（monomial）的概念：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式(例：0可看做0乘a，1可以看做1乘指数为0的字母，b可以看做b乘1)。
多项式：由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。
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1.
字母就是变量
复数：
实数：有理数，无理数（代数数和超越数）
代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式
有理式：整式、分式，这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.
无理式：含有 字母的根式 或 字母的非整数次乘方 的代数式叫做无理式。
整式：单项式、多项式
单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（monomial）。
系数和次数，2abc，次数是1+1+1=3
多项式：由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。
常数项：常数，就是除了字母以外的任何数，包括正负整数和正负小数、分数、0和无理数。π和e。不是字母，而是常数项。
分式：一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A / B 就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母。分式是不同于整式的一类代数式。
整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称代数式。[2]
2. 代数运算：
在具有某个运算的集 M 中，任意两个元素通过这个运算仍得到 M 中的一个确定元素，称这个运算为 M 的一个“代数运算”。
对实数集来说，四则运算和整数次乘方开方都是代数运算。
提公因式、约去公因式、因式分解
通分和约分
最小公倍数和最大公约数
3. 数学符号：
4. 二项式和杨辉三角
5. 初等函数
6. 数学方法
数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。
所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式.人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序。同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。
数学方法具有以下三个基本特征：
一是高度的抽象性和概括性；
二是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；
三是应用的普遍性和可操作性。
在中学数学中经常用到的基本数学方法，大致可以分为以下三类：
(1)逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因为运用于数学之中而具有数学的特色。
(2)数学中的一般方法.例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法，在代数中常称图象法，在我们今后要学习的解析几何中常称坐标法)、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法，以及将来要学习的向量法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等.这些方法极为重要，应用也很广泛。
(3)数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、消元法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用。
无论自然科学、技术科学或社会科学，为了要对所研究的对象的质获得比较深刻的认识，都需要对之作出量的方面的刻画，这就需要借助于数学方法。对不同性质和不同复杂程度的事物，运用数学方法的要求和可能性是不同的。总的看，一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正成熟了。在现代科学中，运用数学的程度，已成为衡量一门科学的发展程度，特别是衡量其理论成熟与否的重要标志。
在科学研究中成功地运用数学方法的关键，就在于针对所要研究的问题提炼出一个合适的数学模型，这个模型既能反映问题的本质，又能使问题得到必要的简化，以利于展开数学推导。建立数学模型是对问题进行具体分析的科学抽象过程，因而要善于抓住主要矛盾,突出主要因素和关系，撇开那些次要因素和关系。建立模型的过程还是一个“化繁为简”、“化难为易”的过程。当然，简化不是无条件的，合理的简化必须考虑到实际问题所能允许的误差范围和所用的数学方法要求的前提条件。对于同一个问题可以建立不同的数学模型，同时在研究过程中不断检验、比较，逐渐筛选出最优的模型，并在应用过程中继续加以检验和修正，使之逐步完善。从一个特殊问题抽象出来的数学模型常常具有某种程度的普遍性，这是因为一个特殊的数学模型可以发展成为描述同一类现象的共同的数学模型。已经获得广泛应用并且卓有成效的数学模型大体上有两类：一类称为确定性模型，即用各种数学方程如代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等描述和研究各种必然性现象，在这类模型中事物的变化发展遵从确定的力学规律性；另一类称为随机性模型，即用概率论和数理统计方法描述和研究各种或然性现象，事物的发展变化在这类模型中表现为随机性过程，并遵从统计规律，而且具有多种可能的结果。客观世界的必然性现象和或然性现象并不是截然分开的。有些事物主要地表现为必然性现象，但是当随机因素的影响不可忽视时，则有必要在确定性模型中引入随机因素，从而形成随机微分方程这样一类数学模型。20世纪70年代以来，还陆续发现在一些确定性模型中，如某些描述保守系统或耗散结构的非线性方程，并不附加随机因素，但却在一定的参数范围内表现出“内在的随机性”，即出现分岔和混沌的随机行为。这类现象的机制及其数学问题已引起数学家和科学家的重视，目前正在研究中。
数学本身是不断发展的，对各种量、量之间以及量的变化之间关系的研究也在日益深入,新的数学概念、新的数学分支在不断出现，新的数学方法同样在相应地孕育和萌生。随着数学日益广泛地向各门科学渗透，与各种对象和各种问题相结合，人们正在从中提炼出各种新的数学模型，创建各种新的数学工具。尤其是电子计算机的运用使数学方法显示出新的生机，出现了所谓“数学实验方法”。这种方法的实质是不在实际客体上实验，而在其数学模型上“实验”，这种“实验”的操作就是在电子计算机上实现大量的数值运算和逻辑运算。这就使以往由于工作量大而难以进行的试算课题有可能完成。数学方法在这方面的发展前景是可观的。
7. 数学模型
8. 数学思想
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
9. 数学方程
10. 数学公式
11. 数学：基础数学和应用数学
基础数学也叫纯粹数学，专门研究数学本身的内部规律。中小学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于纯粹数学。纯粹数学的一个显著特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式。
数学可以分成两大类：一类叫纯粹数学；一类叫应用数学。
数学的第一大类。它按照数学内部的需要，或未来可能的应用，对数学结构本身的内在规律进行研究，而并不要求同解决其他学科的实际问题有直接的联系。
数学的第二大类。它着重应用数学工具去解决工作、生活中的实际问题。在解决问题的过程中，所用的数学工具就是基础数学。
12. 元本体表达形式
物质 意识 价值 时间
空间 数量 质量 运动
数量是对现实生活中事物量的抽象。（事件与物件）量的多少。
13. 具体事物和抽象事物