HackerRank# Wet Shark and Two Subsequences

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对于给定的两个约束条件，可以通过联立方程组直接解出子序列A的和和子序列B的和，即sum(A) = (r + s) / 2，sum(B) = (r - s) / 2，假设|A|=|B|=n

所以问题变成了，在一个数组中求长度为n且子序列和为sum(A)或sum(B)有多少个。

假设count(n, s)表示长度为n且子序列和为s有多少个，则要求的是count(n, sum(A)) * count(n, sum(B))，其中1<=n<=m

或者通俗来说就是m个k-sum问题

求k-sum，如果用搜索的方法，时间复杂度是2^k，何况现在要求的是m个k-sum问题，即使排序+剪枝优化肯定也会超时（别问我是怎么知道的）

所以只能选择动归，因为每次求k-sum的过程存在大量重复计算。

令f[i][j][k]表示从第i个元素开始，子序列长度为j，子序列和为k，这样的子序列有多少个

那么有地推公式：f[i][j][k] = f[i+1][j - 1][k - a[i]] + f[i + 1][j][k]

这个公式其实挺straightforward，跟背包问题是一样的。

由于sum(A)和sum(B)最大不过2000，所以k的范围是2000，另外i和j的范围分别是m的范围100，所以如果不做任何状态压缩，占用空间大概是2000*100*100*4*8约为640MB（用int存储），显然要爆。所以还必须状态压缩。

分析地推公式，明显压缩i那维，而且不难看出j和k必须从后向前推。还是跟背包问题一样。

代码：

 1 #include <cmath>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <vector>
 4 #include <iostream>
 5 #include <algorithm>
 6 #include <cstring>
 7 using namespace std;
 8
 9 #define MAX_SIZE 128
10 #define MAX_SUM 2048
11 #define MOD 1000000007
12
13 long long a[MAX_SIZE];
14 int m, r, s;
15 long long f[MAX_SIZE][MAX_SUM];
16
17 int main() {
18     /* Enter your code here. Read input from STDIN. Print output to STDOUT */
19     int sa, sb;
20     long long res = 0;
21
22     cin >> m >> r >> s;
23     sa = (r + s) / 2;
24     sb = (r - s) / 2;
25     for (int i = 0; i < m; i++)
26         cin >> a[i];
27
28     memset(f, 0, sizeof(f));
29     f[0][0] = 1;
30     for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {
31         for (int j = m; j >= 1; j--) {
32             for (int k = 2000; k >= 0; k--) {
33                 if (k >= a[i])
34                     f[j][k] = (f[j][k] + f[j - 1][k - a[i]]) % MOD;
35             }
36         }
37     }
38
39     for (int i = 1; i <= m; i++)
40         res = (res + (f[i][sa] * f[i][sb]) % MOD) % MOD;
41
42     cout << res << endl;
43     return 0;
44 }

第一次用的int，结果提交以后有些case是WA，考虑到DP问题基本上不会出现WA的情况，所以断定应该是数据溢出了，换成long long果然就没问题了。