题目描述
有$n+2$个座位等距地排成一排,从左到右编号为$0$至$n+1$。
最开始时$0$号以及$n+1$号座位上已经坐了一个小$G$,接下来会有$n$个小$G$依次找一个空座位坐下。由于小$G$们坐得太近就容易互相搏弈,每个小$G$会找一个当前离最近的小$G$距离最远的座位坐下。如果有多个备选的座位,这个小$G$会等概率选择其中一个。
给出$n$,求第$i$个坐下的小$G$坐在$j$号座位的概率,对$P$取模。具体来说,如果答案化为最简分数可以表示为$\frac{a}{b}$,你需要输出$a\times b^{−1}$,其中$b^{−1}=b^{P-2}(\mod P)$。
输入格式
从文件$seat.in$中读入数据。
一行两个整数$n,P$。
输出格式
输出到文件$seat.out$中。
输出$n$个整数,第$i$行第$j$个整数表示第$i$个小$G$坐在第$j$个座位的概率。
样例
样例输入:
4 10007
样例输出:
0 5004 5004 0
3336 1668 1668 3336
3336 1668 1668 3336
3336 1668 1668 3336
数据范围与提示
样例解释:
第一个小$G$会在中间两个位置中随机选择一个,接下来无论选哪个位置最近的距离都是$1$。
$\frac{1}{2}=5004(\mod 10^4+7),\frac{1}{3}=3336(\mod 10^4+7),\frac{1}{6}=1668(\mod 10^4+7)$。
数据范围:
对于所有数据,满足$2\leqslant n\leqslant 1024,2000\leqslant P\leqslant 30000$,$P$是质数。
本题共$25$个测试点,每个测试点$4$分。
题解
好玄学的一道玄学题……
一个结论是,对于任意一个人,他坐下时离最近的人的距离是固定的,不随前面的人的决策而改变。这样我们可以将所有人按坐下时的距离分成若干层。另一个结论是,无论之前每一层如何决策,轮到这一层时逬空区间的长度构成的可重集也是固定的。
对于最后一层特殊处理接下来均默认不是最后一层。对于之前的每一层,考虑在哪些空区间中央坐下可使得距离最大,其中可能会有一些长度为奇数的区间和一些长度为偶数的区间,而对于每个人来说,坐在任意一个奇数的区间的中央的概率都是相等的,偶数同理。
那么我们只需要知道,每个人有多大的概率坐在一个奇逯偶数区间的中央。考虑$DP$,$dp[i][j]$表示这一层已经坐下$i$个人之后,还有$j$个长度为偶数的区间的概率,转移只需考虑当前这个人坐了哪类区间即可。遤遰之后容易算出之前要求的概率。
区间长度为奇数时位置是固定的;考虑区间长度为偶数的情况,此时会出现两个位置可供选择,但无论选择哪一个,都会将区间划分成长度为$\frac{n}{2}$和$\frac{n}{2}−1$的两段。因此这两种选择具有对称性,我们只需要假定选择其中的一个,算出这种情况下之后的层的答案,即可对称地推出另一种情况下的答案。
瓶颈在利用对称性推答案的地方,主要看代码实现了,反正我是颓的代码。
时间复杂度:$\Theta(n^2\log n)$。
期望得分:$100$分。
实际得分:$100$分。
代码时刻
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,P,now; int dp[1100][1100],ans[1100][1100],g[1100][1100],inv[1100],vis[1100],cnt[1100],odd[1100],pos[1100]; int qpow(int x,int y) { int res=1; while(y) { if(y&1)res=res*x%P; x=x*x%P; y>>=1; } return res; } void pre_work() { for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=qpow(i,P-2); vis[0]=vis[n+1]=1;now=n; } int main() { scanf("%d%d",&n,&P); pre_work(); for(int i=1;i<=n;i++) { pair<int,int> lr=make_pair(0,0); for(int j=0;j<=n;j++) { int flag=j+1; while(!vis[flag])flag++; if(flag-j>lr.second-lr.first){lr=make_pair(j,flag);} j=flag-1; } cnt[lr.second-lr.first>>1]++; if((lr.second-lr.first)&1)odd[lr.second-lr.first>>1]++; pos[i]=lr.first+(lr.second-lr.first>>1); vis[lr.first+(lr.second-lr.first>>1)]++; } for(int i=1;i<=n;i++) { if(!cnt[i])continue; if(i==1) { for(int j=now-cnt[i]+1;j<=now;j++) for(int k=now-cnt[i]+1;k<=now;k++) ans[j][pos[k]]=inv[cnt[i]]; } else { for(int j=0;j<=cnt[i];j++) for(int k=0;k<=odd[i];k++) dp[j][k]=0; dp[0][odd[i]]=1; for(int j=1;j<=cnt[i];j++) { int oddw=0,even=0; for(int k=0;k<=odd[i];k++) { if(!dp[j-1][k])continue; int frac=(cnt[i]-(j-1))+k; int w=0; if(k) { w=dp[j-1][k]*k*2%P*inv[frac]%P; even=(even+w*inv[odd[i]<<1])%P; dp[j][k-1]=(dp[j][k-1]+w)%P; } if(cnt[i]-odd[i]) { w=dp[j-1][k]*(frac-2*k)%P*inv[frac]%P; oddw=(oddw+w*inv[cnt[i]-odd[i]])%P; dp[j][k]=(dp[j][k]+w)%P; } } for(int k=now-cnt[i]+1;k<=now-cnt[i]+odd[i];k++) { ans[now-cnt[i]+j][pos[k]]=(ans[now-cnt[i]+j][pos[k]]+even)%P; ans[now-cnt[i]+j][pos[k]+1]=(ans[now-cnt[i]+j][pos[k]+1]+even)%P; } for(int k=now-cnt[i]+odd[i]+1;k<=now;k++) ans[now-cnt[i]+j][pos[k]]=(ans[now-cnt[i]+j][pos[k]]+oddw)%P; } for(int j=now-cnt[i]+1;j<=now-cnt[i]+odd[i];j++) { int L=pos[j]-i+1; int R=pos[j]+i; for(int k=L;k<=R;k++) { if(k==pos[j])continue; for(int l=now+1;l<=n;l++) { g[l][k]=(g[l][k]+ans[l][k]*inv[2])%P; g[l][k<pos[j]?k+i+1:k-i]=(g[l][k<pos[j]?k+i+1:k-i]+ans[l][k]*inv[2])%P; } } for(int k=L;k<=R;k++) for(int l=now+1;l<=n;l++) { ans[l][k]=g[l][k]; g[l][k]=0; } } } now-=cnt[i]; } for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) printf("%d ",ans[i][j]); puts(""); } return 0; }
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原文地址:https://www.cnblogs.com/wzc521/p/11624841.html