CCPC 2019 网络赛 HDU 6706 huntian oy
标签
- 奇奇怪怪的数论结论
- 杜教筛
前言
- 我的csdn和博客园是同步的,欢迎来访danzh-博客园~
简明题意
- 给定n,a,b,求:
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^igcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)=1]\%(10^9+7)\]
思路
- 首先有一个结论:
\[gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)=i^{gcd(a,b)}-j^{gcd(a,b)}\] - 上面的结论对于i,j互质是成立的。关注这题,条件式里就有[gcd(i,j)=1],所以我们可以直接替换:(由于ab互质,所以指数直接去掉)
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i(i-j)[gcd(i,j)=1]\] - (其实我比赛的时候猜出来gcd那一坨就等于i-j,然后我写了个暴力验证一下,发现有些数不相等,当时情急,就没往这方面想了,好难过)
- 推到这里,就太简单了。接下来我们我们把减法分离开:
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ii[gcd(i,j)=1]-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ij[gcd(i,j)=1]\] - 然后分别求一下这两个式子。第一个式子比较好求,重点是第二个式子。
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ij[gcd(i,j)=1]=\frac 12\sum_{i=1}^ni\phi(i)+\frac{[n>=1]}{2}\]这个式子的推导过程放在我的博客《数论公式总结》里面了
- 所以原式就等于
\[\sum_{i=1}^ni\phi(i)-\frac 12\sum_{i=1}^ni\phi(i)+\frac{[n>=1]}{2}=\frac 12\left(\sum_{i=1}^ni\phi(i)-1\right)\] - 好了,n<=1e9,暴力去算和式会超时。这里杜教筛。
- 令\(f(n)=n\phi(n)\),\(S(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)\)。我们杜教筛,构造g:
\[S(n)g(1)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac ni)\] - 现在难点就在于怎么找g函数。找g函数,我们一般先把狄利克雷展开:
\[f*g=\sum_{d|n}d\phi(d)*g(\frac nd)\] - 所以很显然了,我们取g=id,卷积就是: \[f*g=\sum_{d|n}n\phi(d)=n\sum_{d|n}\phi(d)\]
- 而\(\sum\limits_{d|n}\phi(d)=n\)(这个相当于\(\phi*I=id\),用卷积很好证明),所以:
\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}n\phi(d)=n^2\] - 所以杜教筛的式子:
\[S(n)=\sum_{i=1}^ni^2-\sum_{i=2}^niS(\frac ni)\] - 然后就能很轻松地杜教筛啦~然而T了...
- 上面的式子如果需要求积性函数的前缀和,那么大家肯定会写一个线性筛。而这里没有,是不是就代表不需要预处理呢?其实还是需要的,要预处理出\(f(n)=n\phi(n)\)的前缀和,才能降低杜教筛的复杂度。
注意事项
- 注意溢出问题
总结
- 杜教筛在分块的那一部分有减法操作,记得那里的减法操作不要写-=,因为那里的减法也要取模...
AC代码
#include<cstdio>
#include<unordered_map>
using namespace std;
const int maxn = 5e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
int ksm(int a, int b)
{
int ans = 1, base = a;
while (b)
{
if (b & 1)
ans = 1ll * ans * base % mod;
b >>= 1;
base = 1ll * base * base % mod;
}
return ans;
}
int inv6, inv2;
int prime[maxn], phi[maxn], pre[maxn];
bool no_prime[maxn];
int shai(int n)
{
int cnt = 0;
no_prime[1] = phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!no_prime[i])
prime[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++)
{
no_prime[prime[j] * i] = 1;
phi[prime[j] * i] = i % prime[j] == 0 ? phi[i] * prime[j] : phi[i] * (prime[j] - 1);
if (i % prime[j] == 0) break;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
pre[i] = (1ll * pre[i - 1] + 1ll * i * phi[i] % mod) % mod;
return cnt;
}
unordered_map<int, int> rec;
int S(int n)
{
if (n <= maxn - 10) return pre[n];
if (rec[n]) return rec[n];
long long ans = 1ll * n * (n + 1) % mod * (2 * n + 1) % mod * inv6 % mod;
int l = 2, r = n;
while (l <= n)
{
r = n / (n / l);
ans = ((ans - 1ll * (l + r) * (r - l + 1) % mod * inv2 % mod * S(n / l) % mod) % mod + mod) % mod;
l = r + 1;
}
return rec[n] = ans;
}
void solve()
{
inv6 = ksm(6, mod - 2);
inv2 = ksm(2, mod - 2);
shai(maxn - 10);
int t;
scanf("%d", &t);
while (t--)
{
int n, a, b;
scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
printf("%lld\n", 1ll * (S(n) - 1 + mod) % mod * inv2 % mod);
}
}
int main()
{
solve();
return 0;
}
原文地址:https://www.cnblogs.com/danzh/p/11405721.html
时间: 2024-08-29 03:27:20