局部敏感哈希(Locality Sensitive Hashing)

比较不同的文章、图片啊什么的是否相似，如果一对一的比较，数据量大的话，以O(n2)的时间复杂度来看，计算量相当惊人。所以如果是找相同就好了，直接扔到一个hashmap中即可。这样就是O(n)的复杂度了。
不过相同的字符串一定会得到相同的hash，而不同的字符串，哪怕只有一点点不同，也极可能得到完全不同hash。很自然的想到，要是相似的object能够得到相似的hash就好了。局部敏感哈希就是这样的hash，实现了相似的object的hash也是相似的。

定义相似

要找相似，首先是要定义什么事相似。对于高位空间中的相似，一般认为距离越近越相似。一般用Jaccard distance/similarity来描述：
sim(C1,C2)=|C1∩C2|/|C1∪C2|，d(C1,C2)=1?|C1∩C2|/|C1∪C2|

例如，该图sim=4/11, d=1 - 4/11=7/11

寻找相似的关键三步

1. Shingling:把文档转化为集合
2. MinHashing:把较大的集合转换为较短的签名，同时保留相似性
3. Locality-sensitive-hashing:找出相似的signature，对应的pair既是要找的相似pair

Shingling

直接举例子说明：
k=2,D1=abcab,那么2-shingles set:S(D1)={ab, bc, ca}
对于较长的shingle，可以将其hash，所以得到：h(D1)={1,5,7},
设C1=D1,那么对于D2,他们的相似性为：sim(C1,C2)=|C1∩C2|/|C1∪C2|
一般来讲，k越大，相似性判断的就越准确，不过这样来判断相似性依旧效率低下，时间复杂度还是O(n2)(因为没有做任何的简化)

MinHashing

相似矩阵

在使用MinHashing之前，首先要将shingle set写成矩阵形式，看例子：
有5个document：

S1 abcabc
S2 cbacba
S3 acbaba
S4 bcacab
S5 bacbca

那么他们的shingle set:

abcabc = {ab, bc, ca, ab, bc},
cbacba = {cb, ba, ac, cb, ba},
acbaba = {ac, cb, ba, ab, ba},
bcacab = {bc, ca, ac, ca, ab},
bacbca = {ba, ac, cb, bc, ca}

将集合中出现过的shingle放入一个集合，并将其编号，由此可以得到一个矩阵。这个矩阵的行是shingle元素，列是文档

实际上，真正的matrix会相当稀疏，不过有sim的公式可以知道，我们关注的是非零项，因此矩阵只保留那些非全零行。

MinHashing

虽然将shingle set转换成了matrix，但实际上，运算量并没有减少
如果存在一个能够hash document，使每一列的C成为一个较小的signature h(C)。并且满足以下两个条件：

1. h(c)足够小，使得可以放在RAM中
2. sim(C1,C2) =P(h(C1)=h(C2))
   即在进行hash时，我们将最相似的对象hash到同一个bucket中

因此，我们的目标是找到这样一个hash函数，使得

1. 如果sim(C1,C2)很大，则h(C1)=h(C2)
2. 如果sim(C1,C2)很小，则h(C1)≠h(C2)

很显然，hash function取决于我们如何选取相似的尺度。对于Jaccard similarity，这个hash function就是MinHashing
MinHashing定义：特征矩阵按行进行一个随机的排列后，第一个列值为1的行的行号
我们还是用接着上述的例子来说明，如果我们使用三个hash函数来生成随机排列：

• h1 = (2x + 1) mod 6 -> 1 3 5 1 3 5
• h2 = (3x + 2) mod 6 -> 2 5 2 5 2 5
• h3 = (5x + 2) mod 6 -> 2 1 0 5 4 3

x是shingle，hash后我们得到了新的排列。不过我们看到，如果hash函数选得不好，有些shingle就会无法出现。这里只有h3才是真正的重新排列（没有缺失）
根据这个重新的排列，我们按照定义找出每一个hash函数对应的最小hash值（特征矩阵按行进行一个随机的排列后，第一个列值为1的行的行号），我们可以得到一个hash的matrix：

根据random hash中的重新排序，我们可以找到对应的第一行为1的数值(MinHashing value)，填入MinHashing这个表格中，我们得到了最小hash签名(MinHashing signature)
这里要注意的就是，由于random hash选取不够好，会使得出现重复的元素，这种情况情况下，按照从小到大来看即可。即h2只有2和5，先把2检查完，若没有1，才继续看5.

但是，我们为什么可以这样做？为什么MinHash保留了相似性呢？因为两列的最小hash值就是这两列的Jaccard相似度的一个估计，换句话说，两列最小hash值同等的概率与其相似度相等，即P(h(Si)=h(Sj)) = sim(Si,Sj)简单证明下：
对于任意i, j两列，他们可能：

• 都是1——有A行
• 既有1，又有0——有B行
• 都是0——有C行

对于i, j的Jaccard similarity：
sim = A/B
那么对于MinHash来说, 由于是随机排列后：
两个最小hash值相等的概率是A/B
所以，算出了MinHash，并得到signature，原先的相似性也保留在了signature当中

为什么我们需要MinHashing Signature呢？因为中心极限定理。一次hash只是偶然，多次hash才能接近概率。这也是为什么我们用了h1,h2,h3三个hash函数。在实际应用中，会使用更多的hash函数

可以发现，原先一个可能非常大的文章，被我们摘要成了一个签名矩阵，同时不同文章之间的相似性却保留下来了。

Locality Sensitive Hashing

我们的目标是：找到那些相似度至少为S的文档。一般来讲，会用一个hash function(x, y)来指出x和y是否相似

思路是，对于最小哈希尺度

• 签名矩阵的列被hash到很多buckets中
• 进入相同bucket的一对说明他们是candidate(备选)的，是否是相似还需要未来进一步检查

具体措施：将签名矩阵分为 b组，每组有r行，然后对每一组进行hash，如果两列的某一组的hash相同，则将其hash到同一个bucket，一般会有k个buckets(k 尽可能的大)。这些进入同一个bucket的列就是candidate pair(尽管可能只有一个组相同)。但是那些完全没有相同的组，一定是不相似的，基于此，进行剪枝。

对于候选相似项我们知道对于某一具体的行，两个签名相同的概率p =两列的相似度= sim(S1,S2)，那么我们可以计算：

• 在某个组中所有行的两个签名值都相等概率是pr;
• 在某个组中至少有一对签名不相等的概率是1?pr;
• 在每一组中至少有一对签名不相等的概率是(1?pr)b;
• 至少有一个组的所有对的签名相等的概率是1?(1?pr)b;

举例来说明：

• 假设有10w个文档，M = 100000
• 签名有100个integers组成(100个random hash 函数)，合计40Mb=100*10w*4byte
• b=20,r=5
• 寻找那些相似性至少在0.8以上的文档

sim(C1,C2) = 0.8意味着任意一组中每行两列(C1,C2)相同的概率是0.8，r=5,那么这一组完全相同的概率是:0.85=0.328
那么对于所有的组b=20来说，两列不相似的概率是：(1?0.328)20=0.00035,所以可以说两列99.965%都是相似的
同理也可证明，相似度为30%的是真的不相似，它们相似的概率只有0.0475

因此我们看到，如果80%的组都被hash到同一个bucket中，那这两列的相似度为0.8，而真正可能相似的概率则为99.965%。这就是局部敏感hash，保证了相似的文档始终会被hash到同一个bucket中。

另外就是，b和r的取值会导致相似曲线的变化，理想中的相似曲线应该是：

可以想象一下，如果b和r都取1，那么红线应该是一条斜率为1的直线
这根红线实际上是至少有一个组的所有对的签名相等的概率：1?(1?tr)b,t是相似度