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$\bf命题1：$设$f\left( x \right) \in {C^1}\left( { - \infty , + \infty }
\right)$，令

fn(x)=n[f(x+1n)?f(x)]

证明：对任意$x \in \left[ {a,b} \right] \subset \left( { - \infty , + \infty }
\right)$，有${f_n}\left( x \right)$一致收敛于$f‘\left( x \right)$

证明：由$f\left( x \right) \in {C^1}\left( { - \infty , + \infty }
\right)$知，$f‘\left( x \right) \in C\left[ {a,b}
\right]$，则

由$\bf{Cantor定理}$知，$f‘\left( x \right)$在$\left[ {a,b}
\right]$上一致连续，即对任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意的$x,y \in \left[
{a,b} \right]$满足$\left| {x - y} \right| < \delta $时，有

∣∣f′(x)?f′(y)∣∣<ε

由微分中值定理知，存在${\xi _n} \in \left( {x,x + \frac{1}{n}} \right)$，使得

fn(x)=nf′(ξn)1n=f′(ξn)

取$N = \frac{1}{\delta }$，则当$n > N$时，对任意$x \in \left[ {a,b}
\right]$，有

|x?ξn|<δ

从而有

∣∣f′(x)?f′(ξn)∣∣<ε

所以对任意$\varepsilon > 0$，存在$N = \frac{1}{\delta } > 0$，使得当$n >
N$时，对任意$x \in \left[ {a,b} \right]$，有

∣∣f′(x)?fn(x)∣∣=∣∣f′(x)?f′(ξn)∣∣<ε

从而由函数列一致收敛的定义即证

$\bf注1：$$N$的取值由不等式${\left| {x - {\xi _n}} \right| < \delta }$放缩得到

$\bf注2：$由于$f‘\left( x \right) \in C\left( { - \infty , + \infty }
\right)$，所以

limn→∞fn(x)=limn→∞f(x+1n)?f(x)1n=f′(x)

即${f_n}\left( x \right)$在$\left( { - \infty , + \infty }
\right)$上处处收敛于$f‘\left( x \right)$

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