4.1.4 田忌赛马中矩阵乘法的体现
下面再来看看孙膑对矩阵都做了哪些操作：
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在这一变换中，马匹的总属性没有发生任何更改，孙膑不需要换马，也无需提升任何一匹马的档次即可反败为胜：
该变换一举打破了数乘与加减法的常规，运用矩阵布局的思想，充分调度了矩阵内的各个元素，奠定了比赛的胜局。孙膑的足智多谋让齐威王心悦诚服，赛后不久便成为齐威王手下的一名得力军师。
调整位置无法用四则运算来表示，但可以把结果中的数值都看作包含了系数1：
我们再假设，如果齐威王也深谙矩阵之道，及时调整阵型，将上下等马的出场顺序对调一下，他就能再下一城，守住胜局，而田忌则仍以失败告终。
齐威王的矩阵变换可表示如下：
从孙膑和齐威王的变换可以看出，布阵的方法存在很大的灵活性，a，b，c的位置应根据战况的不同及对手的实际布局进行有针对性的调整，它们的最终位置出现在哪一行都有可能。所以，只对单一元素进行运算是不可能把以上布阵方法都表达出来。
我们将a，b，c写入到孙膑结果矩阵中的每一行，没有在对应行出现的元素附上系数0：
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而齐威王的调整策略则可表示如下：
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转换过程都出现了3*3=9个系数，我把它们抽取出来并排列成矩阵：
孙膑的布局矩阵：
齐威王的布局矩阵：
以孙膑为例，这一运算过程可表示如下：
我们把上面式子中的&连接符改为×，便可抽象出矩阵的另一种运算——乘法：
如果第一个矩阵包含多行，则每行都进行同样的运算：
与加减法相类似，矩阵乘法也可以推广到m行n列，但是，矩阵乘法要求第一个矩阵的行数与第二个矩阵的列数相等，否则无法运算。因为矩阵的乘法需要将第一个矩阵中第n行的数与第二个矩阵中第n列的数进行相乘（图 4.1），如果数量不匹配，运算将会失效。
图 4.1 图解矩阵的乘法运算
有了矩阵这一工具以后，我们就可以表达任意的马匹布阵转换了。比如，想要将三匹马布阵成【中，下，上】，则矩阵的变换过程可表示为：
您可以这样理解，加入您想把第3匹马安排到第2位，您就把变换矩阵第3行第2列的数值设置为1，而该列的其他元素都设置为0。