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1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere
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题目描述
有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在,你被困在了这个n维球体中,你只知道球面上n+1个点的坐标,你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标,以便于摧毁这个球形空间产生器。
输入
第一行是一个整数,n。接下来的n+1行,每行有n个实数,表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位,且其绝对值都不超过20000。
输出
有且只有一行,依次给出球心的n维坐标(n个实数),两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。
样例输入
2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0
样例输出
0.500 1.500
提示
数据规模:
对于40%的数据,1<=n<=3
对于100%的数据,1<=n<=10
提示:给出两个定义:
1、 球心:到球面上任意一点距离都相等的点。
2、 距离:设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn),则AB的距离定义为:dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )
做法:把圆心坐标设成 x1,x2,x3.... ,有若干个点 其中两个点坐标为a1,a2, a3.... 和b1,b2,b3.
可以写出方程
sqrt((a1-x1)^2+(a2-x2)^2+(a3-x3)^2)=sqrt((b1-x1)^2+(b2-x2)^2+(b3-x3)^2)
两边去根号,
(a1-x1)^2+(a2-x2)^2+(a3-x3)^2=(b1-x1)^2+(b2-x2)^2+(b3-x3)^2
把平分打开
a1^2+x1^2+a2^2+x2^2+a3^2+x3^2-2*a1*x1-2*a2*x2-2*a3*x3=b1^2+x1^2+b2^2+x2^2+b3^2+x3^2-2*b1*x1-2*b2*x2-2*b3*x3
整理下 把x的二次方 两边都减去。把x的一次放左边 0次项放右边。
-2*a1*x1-2*a2*x2-2*a3*x3+2*b1*x1+2*b2*x2+2*b3*x3=b1^2+b2^2+b3^2-a1^2-a2^2-a3^2
整理下
(-2*a1+2*b1)*x1+(-2*a2+2*b2)*x2+(-2*a3+2*b3)*x3=b1^2+b2^2+b3^2-a1^2-a2^2-a3^2
一共有n+1个点,所以可以写出n条这样的等式。
最后的形式就是AX=b了, 然后就可以高斯消元了。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <limits.h> #include <malloc.h> #include <ctype.h> #include <math.h> #include <string> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #include <stack> #include <queue> #include <vector> #include <deque> #include <set> #include <map> #define eps 1e-9 const int MAXN=220; double a[MAXN][MAXN],x[MAXN];//方程的左边的矩阵和等式右边的值,求解之后x存的就是结果 int equ,var;//方程数和未知数个数 /* *返回0表示无解,1表示有解 */ int Gauss() { int i,j,k,col,max_r; for(k=0,col=0;k<equ&&col<var;k++,col++) { max_r=k; for(i=k+1;i<equ;i++) if(fabs(a[i][col])>fabs(a[max_r][col])) max_r=i; if(fabs(a[max_r][col])<eps)return 0; if(k!=max_r) { for(j=col;j<var;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]); swap(x[k],x[max_r]); } x[k]/=a[k][col]; for(j=col+1;j<var;j++)a[k][j]/=a[k][col]; a[k][col]=1; for(i=0;i<equ;i++) if(i!=k) { x[i]-=x[k]*a[i][k]; for(j=col+1;j<var;j++)a[i][j]-=a[k][j]*a[i][col]; a[i][col]=0; } } return 1; } double dian[13][13]; int main() { int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(int i=0;i<n+1;i++) for(int j=0;j<n;j++) scanf("%lf",&dian[i][j]); equ=n; var=n; memset(x,0,sizeof x); for(int i=0;i<n;i++) { for(int j=0;j<n;j++) a[i][j]=-2.0*dian[i][j]+2*dian[i+1][j]; for(int j=0;j<n;j++) x[i]+=dian[i+1][j]*dian[i+1][j]-dian[i][j]*dian[i][j]; } Gauss(); for(int i=0;i<n;i++) { if(i!=0) printf(" "); printf("%.3lf",x[i]); } } return 0; }
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