动态规划法－01背包问题

一 几个概念：

最优化问题：有n个输入，它的解由这n个输入的一个子集组成，这个子集必须满足某些事先给定的条件，这些条件称为约束条件，满足约束条件的解称为问题的可行解。满足约束条件的可行解可能不止一个，为了衡量这些可行解的优劣，事先给出一定的标准，这些标准通常以函数的形式给出，这些标准函数称为目标函数，使目标函数取得极值的可行解成为最优解，这类问题称为最优化问题。

二 最优性原理：

对于一个具有n个输入的最优化问题，其求解的过程往往可以划分为若干个阶段，每一个阶段的决策仅依赖前一阶段的状态，由决策所采取的动作使状态发生转移，成为下一个阶段的依据。从而，一个决策序列在不断变化的状态中产生。这个决策序列产生的过程称为多阶段决策过程。

在每一个阶段的决策中有一个赖以决策的策略或目标，这种策略或目标是由问题的性质和特点所确定，通常以函数的形式表示并具有递推关系，称为动态规划函数。

多阶段决策过程满足最优性原理：无论决策过程的初始状态和初始决策是什么，其余决策必须相对于初始决策所产生的当前状态，构成一个最优决策序列。

如果一个问题满足最优性原理通常称此问题具有最优子结构性质。

三 特征

我们知道动态规划是求解全局最优解的有效方法，一般来说能用动态规划算法求解的问题具有以下两个显著特称：

• 具有最优子结构性质，也就是说可以递归的定义最优解。
• 能够分解为相互重叠的若干自问题。
• 最优解中也包含其子问题的最优解。

四 设计方案

动态规划法设计方案

• 分段：将原问题分解为若干个相互重叠的子问题；
• 分析：分析问题是否满足最优子结构性质，找出动态规划函数递推式；
• 求解：利用递推式自底向上计算，实现动态规划过程。

五 01背包问题

0/1背包问题中，物品i或者被放入背包，或者不被放入背包，设Xi表示物品i装入背包的情况，则当Xi=0时，表示物品i没有被装入背包，Xi=1时，表示物品i被装入背包。根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：

图 1 约束条件

图2 目标函数

01背包的状态转换方程f[i,j]=
Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为j的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第i件物品应该放入背包中吗？

六 动态规划法解决方案

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和

表10/1背包问题动态规划法

表1采用自底向上自左向右的方式生成的。

e1表示在背包容量为1的情况下仅仅放入物品e的价值，因容量1<4因此价值为0；依此类推当背包容量为4时，单元格e4的价值为6。容量继续上涨也只能放置e，因此价值持续为6。

d行可参照递推式f[i,j]=
Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }如下描述

1. i<=5时，d行表格价值与e行相同；
2. i>=6时，比如第6行，选取Max{f[1,1]+4,f[1,6]}即Max{e1+4,
   e6}=Max{4, 6} = 6;依此类推d9=Max{f[1,4]+4,f[1,59}=10;

依次类推可计算c/b/a的值,然后根据最大价值返算最优路径。

d1表示背包容量为1的情况下放置物品d和e后的价值，因e的重量为4>1，且d的重量为5>1因此价值为0。直至第5列(不包括d5)d行表格的内容与e行相同，

七 程序实现C＃

代码段1 测试函数

class MainClass
	{
		public static void Main (string[] args)
		{
            Obj[] objs = new Obj[4];
            objs[0] = new Obj() { Weight = 7, Price = 42 };
            objs[1] = new Obj() { Weight = 3, Price = 12 };
            objs[2] = new Obj() { Weight = 4, Price = 40 };
            objs[3] = new Obj() { Weight = 5, Price = 25 };

            			Console.WriteLine ("Dynamicprogramming Model:");
			dynamicprogramming d = new dynamicprogramming (objs, 10);
			int price = d.Execute ();
			d.Printing (price);
            //Console.Read();
		}
	}

代码段2 实现函数

public class dynamicprogramming
	{
		/// <summary>
		/// 存储动态规划的递推数据
		/// m_V[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包获得的最大价值
		/// 其中第0行作为初始化，表示不放入物品时的价值；
		/// 第0列作为初始化，表示容量为0时能放入物品的价值；
		/// </summary>
		private int[,] m_V;
		/// <summary>
		/// 物品数量
		/// </summary>
		private int m_n;
		/// <summary>
		/// 背包容量
		/// </summary>
		private int m_w;

		public Obj[] objs {
			get;
			set;
		}
		public dynamicprogramming (Obj[] objs, int w)
		{
			if (objs == null) {
				return;
			}

			m_n = objs.Length;
			this.objs = objs;
			m_w = w;
			m_V = new int[m_n + 1, m_w + 1];

			for (int i = 0; i < m_w+1; i++) {
				m_V [0, i] = 0;
			}
			for (int i = 0; i < m_n+1; i++) {
				m_V [i, 0] = 0;
			}
		}

		public int Execute()
		{
			for (int r = 1; r <= m_n; r++) {
				for (int w = 1; w <= m_w; w++) {
					if (w < objs[r - 1].Weight) {
						m_V[r, w] = m_V[r - 1, w];
					} else {
						int tmp = m_V [r - 1, w - objs [r - 1].Weight] + objs [r - 1].Price;
						m_V [r, w] = m_V [r - 1, w] > tmp ? m_V [r - 1, w] : tmp;
					}
				}
			}

			//求装入背包的物品
			int weight = m_w;
			for (int i = m_n; i > 0; i--) {
				if (m_V[i, weight] > m_V[i - 1, weight]) {
					objs [i - 1].Selected = true;

					weight -= objs [i - 1].Weight;
				}
			}

			return m_V[m_n, m_w];
		}

		public void Printing(int price)
		{
			Console.Write("<");
			for (int i = 0; i < objs.Length; i++)
			{
				Console.Write(objs[i].Selected ? "1 " : "0 ");

			}
			Console.WriteLine(">, price: " + price );
		}
	}

输出结果：

注：上述程序使用FreeBSD下Mono开发。

动态规划法－01背包问题