构建一个递归函数treeToList(Node root),将一棵已排序的二叉树,调整内部指针,使之从外面看起来,是一个循环双向链表。其中前向指针存储在"small"区域,后向指针存储在"large"区域。链表需要进行调整进行升序排序,并返回链表头指针。
下面的这篇文章详细解释了这个转换的过程。
http://cslibrary.stanford.edu/109/TreeListRecursion.html
以下是对这篇文章的翻译:
The Great Tree-List Recursion Problem
内容:
1. Ordered binary tree
2. Circular doubly linked list
3. The Challenge
4. Problem Statement
5. Lessons and Solution Code
介绍:
此问题会使用到两个数据结构 -- 一个已排序的二叉树,以及一个循环双向链表。这两者存储的都是已排序的元素,但是看上去完全不同。
1. 排序二叉树(Ordered Binary Tree)
在一棵已排序的二叉树中,每个节点包含一个独立的数据元素和指向子树的"small"以及"large"指针(有时这两个指针称为"left"左指针和“right”右指针)。下面所示的是一棵已排序的二叉树,包含元素1到5.
图1 - 已排序的二叉树
其中,"small"子树中的所有节点,小于等于父节点。"large"子树中的所有节点,大于父节点。所以在上述例子中,"small"子树中的节点都会小于等于4,而"large"子树中的所有节点,会大于4. 这条规则对树中的每个节点都适用。而null指针,用来表示一个分支的结束。实际上,null指针代表0个节点的树。树中最顶点的节点称为根节点root。
2. 循环双向链表(Circular Doubly Linked List)
下面是1至5的一个循环双向链表
图2 - 循环双向链表
循环双向链表相对普通链表,拥有下面两个额外的特性:
a)."双向"代表每个节点拥有两个指针- 后向指针"next"以及前向指针"previous"。
b)."循环"代表链表没有起点和终点。实际上,最后一个节点的后向指针,指向的是首节点。而首节点的前向指针,指向的是最后一个节点。
通常,一个null指针代表一个0个元素的链表。而长度为1的链表看起来会有点奇怪。如下面所示:
图3 - 长度为1的循环双向链表
长度为1的链表中的那个节点,既是首节点,也是最后一个节点(末节点),所以前向指针和后向指针,指向的都是它自己。所以即使长度为1的链表,也遵守了上面的特性。
本质 - 节点在构造时就不同
这里就是Great Tree-List问题的本质:二叉树中的节点,与链表中的节点,都有着相同的类型结构 - 它们都包含了一个元素和两个指针。唯一的区别在于,二叉树中的两个指针标识为"small"和"large",而链表中标识为"previous"和"next"。忽略掉标识后,这两个节点的类型其实是一样的。
3.难题
真正的困难在于将此二叉树转换成循环双向链表。"small"指针代表"previous",而"large"指针代表"next"。转换完成后,需要调整链表来达到升序排序。
图4 - 添加了后向指针(next)后的二叉树
上面的这个图中,黑色线条表示原始二叉树中的后向指针,即链表中用箭头表示的。前向指针没有进行演示。
完整的调整演示:
图5 - 添加了前向指针与后向指针的二叉树
上面的这个图,演示了这个问题的所有情况。原始二叉树使用黑色线条,并且给二叉树添加了后向/前向指针。注意头指针的位置,它的前向指针与后向指针,构成了一个包含元素1~5的链表,如图2所示。尽管这两幅图中每个节点有着不同的空间分配,但这只是它们的数据结构属性的差异。指针结构才是关键。
4. 问题总结
构建一个递归函数treeToList(Node root),将一棵已排序的二叉树,调整内部指针,使之从外面看起来,是一个循环双向链表。其中前向指针存储在"small"区域,后向指针存储在"large"区域。链表需要进行调整进行升序排序,并返回链表头指针。
操作可以在O(n)时间完成 - 因为本质上只需在每个节点上操作一次。通常将图1做为输入,调整指针后,生成图2.
5. 具体实现的一些提示
a). 递归是关键。对每颗子树进行递归,并合并每次递归的返回结果。
b). 递归会逐步把small和large子树,调整为链表。然后把所有的这些链表合并成一个完整链表。单独定义一个函数append(Node a, Node b)来接收两个链表的输入,然后返回合并后的链表。独立出来的这个函数,也会减小递归函数中的逻辑复杂度。
6. 代码实现
#include <iostream> struct Node { int data; struct Node *small; struct Node *large; }; //辅助函数-合并两个节点。 void joinNode(Node* a, Node * b) { /* a b */ a->large = b; b->small = a; } //辅助函数 - 合并两个循环双向链表 Node* appendList(Node *a, Node *b) { Node *aLast, *bLast; if (a == NULL) return b; if (b == NULL) return a; aLast = a->small; bLast = b->small; joinNode(aLast, b); joinNode(bLast, a); return a; } //递归函数 //将一棵已排序二叉树转换为一个循环双向链表,并返回链表。 Node* treeToList(Node *root) { Node *aList, *bList; if (root == NULL) return NULL; aList = treeToList(root->small); bList = treeToList(root->large); //构造一个长度为length-1的链表 root->small = root; root->large = root; aList = appendList(aList, root); aList = appendList(aList, bList); return aList; } Node* createNode(int data) { Node * node = new Node; node->data = data; node->small = NULL; node->large = NULL; return node; } void insertNode(Node **rootRef, int data) { Node *root = *rootRef; if (root == NULL) *rootRef = createNode(data); else { if (data <= root->data) insertNode(&(root->small), data); else insertNode(&(root->large), data); } } void printList(const Node *head) { const Node *current = head; while (current != NULL) { std::cout << current->data << " "; current = current->large; if (current == head) //已完成了一次链表遍历 break; } std::cout << std::endl; } int main() { Node *root = NULL, *head = NULL; //4-->2-->1-->3-->5 insertNode(&root, 4); insertNode(&root, 2); insertNode(&root, 1); insertNode(&root, 3); insertNode(&root, 5); head = treeToList(root); printList(head); return 0; }
输出:
1 2 3 4 5