折线分割平面

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Problem Description

我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C
行数据，每行包含一个整数n(0<n<=10000),表示折线的数量。

Output

对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。

Sample Input

2
1
2

Sample Output

2
7

主要是需要找到递推公式

以下内容摘自http://www.cnblogs.com/chaosheng/archive/2012/01/26/2329583.html

(1) n条直线最多分平面问题

题目大致如:n条直线，最多可以把平面分为多少个区域。

析:可能你以前就见过这题目，这充其量是一道初中的思考题。但一个类型的题目还是从简单的入手，才容易发现规律。当有n-1条直线时，平面最多被分成了f（n-1）个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+（n-2）个区域。

故：f(n)=f(n-1)+n

=f(n-2)+(n-1)+n

……

=f(1)+1+2+……+n

=n(n+1)/2+1

(2) 折线分平面（hdu2050）

根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

=f(n-1)+4(n-1)+1

=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

……

=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)

=2n^2-n+1

(3) 封闭曲线分平面问题

题目大致如设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

析：当n-1个圆时，区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，则第n个圆被分为2（n-1）段线段，增加了2（n-1）个区域。

故： f(n)=f(n-1)+2(n-1)

=f(1)+2+4+……+2(n-1)

=n^2-n+2

(4)平面分割空间问题（hdu1290）

由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？当有n-1个平面时，分割的空间数为f（n-1）。要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g（n-1）个区域。（g（n）为（1）中的直线分平面的个数）此平面将原有的空间一分为二，则最多增加g（n-1）个空间。

故：f=f(n-1)+g(n-1)    ps:g(n)=n(n+1)/2+1

=f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

……

=f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）

=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

=(n^3+5n)/6+1

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	int n,m,sum;
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		scanf("%d",&m);
		sum=2*pow(m,2)-m+1;  //重点在公式
		printf("%d\n",sum);
	}
	return 0;
}