题目
骨牌,一种古老的玩具。今天我们要研究的是骨牌的覆盖问题:
我们有一个2xN的长条形棋盘,然后用1x2的骨牌去覆盖整个棋盘。对于这个棋盘,一共有多少种不同的覆盖方法呢?
举个例子,对于长度为1到3的棋盘,我们有下面几种覆盖方式:
输入
第1行:1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000
输出
第1行:1个整数,表示覆盖方案数 MOD 19999997
62247088
17748018
前面几组一写,,很容易就能发现规律,是一个线性递推,甚至就是斐波那契。那么下面就是解决巨大斐波那契取模的问题了。
提示:如何快速计算结果
当N很小的时候,我们直接通过递推公式便可以计算。当N很大的时候,只要我们的电脑足够好,我们仍然可以直接通过递推公式来计算。
但是我们学算法的,总是这样直接枚举不是显得很Low么,所以我们要用一个好的算法来加速(装X)。
事实上,对于这种线性递推式,我们可以用矩阵乘法来求第n项。对于本题Fibonacci数列,我们希望找到一个2x2的矩阵M,使得(a, b) x M = (b, a+b),其中(a, b)和(b, a+b)都是1x2的矩阵。
显然,只需要取M = [0, 1; 1, 1]就可以了:
进一步得到:
那么接下来的问题是,能不能快速的计算出M^n?我们先来分析一下幂运算。由于乘法是满足结合律的,所以我们有:
不妨将k[1]..k[j]划分的更好一点?
其中(k[1],k[2]...k[j])2表示将n表示成二进制数后每一位的数字。上面这个公式同时满足这样一个性质:
结合这两者我们可以得到一个算法:
1. 先计算出所有的{a^1, a^2, a^4 ... a^(2^j)},因为该数列满足递推公式,时间复杂度为O(logN)
2. 将指数n二进制化,再利用公式将对应的a^j相乘计算出a^n,时间复杂度仍然为O(logN)
则总的时间复杂度为O(logN)
这种算法因为能够在很短时间内求出幂,我们称之为“快速幂”算法。
代码:
#include <iostream> #include<stdio.h> #include<mem.h> using namespace std; const int MAXN=4; const int MAXM=4; const int MOD=19999997; struct Matrix { long long int n,m; long long int a[MAXN][MAXM]; void clear() { n=m=0; memset(a,0,sizeof(a)); } Matrix operator +(const Matrix &b)const { Matrix tmp; tmp.n=n; tmp.m=m; for(int i=0;i<n;++i) for(int j=0;j<m;++j) { tmp.a[i][j]=(a[i][j]+b.a[i][j])%MOD; } return tmp; } Matrix operator -(const Matrix &b)const { Matrix tmp; tmp.n=n; tmp.m=m; for(int i=0;i<n;++i) for(int j=0;j<m;++j) tmp.a[i][j]=(a[i][j]-b.a[i][j])%MOD; return tmp; } Matrix operator *(const Matrix &b)const { Matrix tmp; tmp.clear(); tmp.n=n; tmp.m=m; for(int i=0;i<n;++i) { for(int j=0;j<m;++j) { for(int k=0;k<m;++k) { tmp.a[i][j]=(tmp.a[i][j]+(a[i][k]*b.a[k][j])%MOD)%MOD; } } } return tmp; } }; int solve(int a[],int b[],int n,int t) { Matrix M,F,E; M.clear(); F.clear(); E.clear(); M.n=M.m=n; E.n=E.m=n; F.n=n; F.m=1; for(int i=0;i<n-1;++i) { M.a[i][i+1]=1; } for(int i=0;i<n;i++) { M.a[n-1][i]=a[i]; F.a[i][0]=b[i]; E.a[i][i]=1; } if(t<n) return F.a[t][0]; for(t-=n-1;t;t/=2) { if(t&1) E=M*E; M=M*M; } F=E*F; return F.a[n-1][0]; } int main() { int a[]={1,1}; int b[]={1,2}; int n=2; int t; cin>>t; cout<<solve(a,b,n,t-1)%MOD<<endl; return 0; }
之所以wa了一炮是因为本地跑的时候用的<mem.h>,网站上的G++不认,要用<memory.h>