文法的形式定义于分类
一个上下文无关文法有四个元素组成:
- 一个终结符号集合,也称为词法单元。
- 一个非终结符号集合,也称为语法变量。
- 一个产生式集合。
- 一个开始符号。
文法G可以抽象成四元组的形式:G=(VN,VT,P,S)
其中VN表示非终结符集,VT表示终结符集,P表示产生式集,S表示开始符号。
文法G描述的语言用L(G)表示L(G)={w|w∈VT*且S=+>w}
- 符号串w从开始符号推导出来
- w仅由终结符号组成
- w称为该语言的句子
- L(G)由所有这样的句子构成
约定:
- 大写字母A~Z表示非终结符,或用尖括号把非终结符括起来。
- 前面的小写符号a、b、c表示单个终结符号。
- 后面的小写字母u、v、w、x、y、z以及α、β、γ等符号表示(VT∪VN)上的符号串。
文法的分类:
- 0型文法:无限制文法、短语文法,α->β,α中至少含一个非终结符。
- 1型文法:上下文有关文法,α->β满足|α|<=|β|,对于产生式α1Aα2->α1βα2,用β替换A时,只能在上下文为α1和α2时才能进行。
- 2型文法:上下文无关文法,A->β,其中A为单个非终结符,当用β替换A时,与A的上下文环境无关。
- 3型文法:正则文法,每个产生式形为A->aB或A->a。
分别被四种自动机识别:
- 图灵机
- 线性界线自动机
- 下推自动机
- 有穷自动机
串和语言和语言上的运算
字母表是一个有限的符号集合。
某个字母表上的串是该字母表中符号的一个有穷序列。
语言是某个给定字母表上任意的可数的串集合。
串的基本术语有:前缀prefix、后缀suffix、子串substring、真前缀真后缀真子串、子序列subsequence。
定义两个串的乘积为两个串的连接。
定义指数运算:s0=ε,并且对于i>0,si为si-1s。因为εs=s,由此可知s1=s,s2=ss,以此类推。
语言上最重要的运算有:并、连接和闭包、正闭包。
例:令L表示字母的集合{A,B,...,Z,a,b,...,z},令D表示数位的集合{0,1,...,9}。将L和D看做语言,它们所有串的长度都为1。
根据运算符从L和D中构造新语言:L∪D、LD、L4、L*、L(L∪D)*、D+。
正则表达式
正则表达式可以由较小的正则表达式按照如下规则递归的构建。每个正则表达式r表示一个语言L(r),这个语言也是根据r的字表达式所表示的语言递归的定义的。
归纳基础
- ε是一个正则表达式,L(ε)={ε}。
- 如果a是Σ上的一个符号,那么a是一个正则表达式,L(a)={a}。
归纳步骤
假定r和s都是正则表达式,分别表示语言L(r)和L(s),那么:
- (r)|(s)是一个正则表达式语言,表示语言L(r)∪L(s)。
- (r)(s)是一个正则表达式语言,表示语言L(r)L(s)。
- (r)*是一个正则表达式语言,表示语言(L(r))*。
- (r)是一个正则表达式语言,表示语言L(r)。
进行如下约定丢掉括号:
- 一元运算符*具有最高的优先级,并且是左结合的。
- 连接具有次高的优先级,它是左结合的。
- |的优先级最低,也是左结合的。
可以用一个正则表达式定义的语言叫做正则集合。如果两个正则表达式r和s表示同样的语言,则称r和s等价,记做r=s。
一些对任意正则表达式r、s、t都成立的代数定律:
- r|s=s|r,|交换律
- r|(s|t)=(r|s)|t,|结合律
- r(st)=(rs)t,连接结合律
- r(s|t)=rs|rt;(s|t)r=sr|tr,连接分配率
- εr=rε=r,ε是连接的单位元
- r*=(r|ε)*,闭包中一定包含ε
- r**=r*,*具有幂等性
如果∑是基本符号的集合,那么一个正则定义是具有如下形式的定义序列:di=ri(1<=i<=n)
- 每个di都是一个新符号,它们都不在∑中,并且各不相同。
- 每个ri是字母表∑∪{d1,...,di-1}上的正则表达式。避免递归定义问题。
时间: 2024-10-06 20:04:49