2^x mod n = 1

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Problem Description

Give a number n, find the minimum x(x>0) that satisfies 2^x mod n = 1.

Input

One positive integer on each line, the value of n.

Output

If the minimum x exists, print a line with 2^x mod n = 1.

Print 2^? mod n = 1 otherwise.

You should replace x and n with specific numbers.

Sample Input

2
5

Sample Output

2^? mod 2 = 1
2^4 mod 5 = 1

Author

MA, Xiao

欧拉定理百度百科

模运算性质

做为一个ACMer，还是好好看看上面的百度百科吧，挺有用的

根据模P乘法逆元：对于整数a、p如果存在整数b，满足a*b mod p=1则称b是a的模P乘法逆元。

a存在模P的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p)=1，令a=2^x，b=1，p=n

则若存在x使用2^x mod n=1则gcd(2^x,n)=1

(1)因为要求x的值大于0。则2^x的因子中只有一个2,所以当n为偶数时gcd(2^x,n)=2k(k=1,2,3...)，即此时不存在x使得2^x mod n=1。

(2)当n为奇数时gcd(2^x,n)=1，则必存在x使得2^x mod n=1。

(3)由于任何数模1的结果为0，所以当n=1时，无论x取何值，2^x mod n=0.

综合上述(1),(2),(3)，当n的值为1或偶数时，不存在x使得2^x mod n=1，其它情况则必存在一x使得2^x mod n =1。

代码：

#include <stdio.h>

int main()
{
	int n ;
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		if(n==1 || n%2==0)
		{
			printf("2^? mod %d = 1\n",n);
		}
		else
		{
			int j = 1, mi=2;
			while(true)
			{
				mi %= n ;
				if(mi == 1)
				{
					printf("2^%d mod %d = 1\n",j,n) ;
					break ;
				}
				mi *= 2 ;
				++j ;
			}
		}
	}
	return 0 ;
}

与君共勉