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线段树或树状数组求逆序数
假设给你一个序列 6 1 2 7 3 4 8 5， 首先我们先手算逆序数， 设逆序数为 N;
6的前面没有比他大的数 N +=0
1的前面有一个比他大的数 N+=1
2的前面有一个比他大的数 N+=1
7的前面没有比他大的数 N+=0
... 最后得到 N = 0 + 1 + 1 + 0 + 2 + 2 + 0 + 3 = 9
其实我们可用用线段树，或者树状数组模拟这个过程。 又因为线段树和树状数组的效率较高，所以可行
假设我们将 序列 6 1 2 7 3 4 8 5 存入数组num【】 中， num【1】=6 ， num【2】=1...
那么每次，我们可以将 num【i】 插入到 线段树或者树状数组中，并赋值为 1，
我们求和sum，sum等于线段树中 1 到 num【i】的和 ， 那么这个 sum 表示的值就是当前比num【i】小的数量；
而当前一共有 i 个数 ， 所以 当前 比num【i】大的数量就是 i - sum；
所以 我们统计所有的 i - sum ， 它们的和就是逆序数。 模拟了上面手算的过程。
【线段树的关键代码】
<pre name="code" class="cpp">int count=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
Insert(1,num[i],num[i],1); //插入 num[i],并赋值1
count+=(i-(Query(1,1,num[i])));
}
【树状数组的关键代码】
long long ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
add(N[i].id);
ans+=(i-Sum(N[i].id));
}
当然，这里查询的数 的 id 都是默认从 1 到 N 的，如果 题目要求输入的数超过这个范围，就需要用到离散化，
这个在后面的题目会介绍到。
【这里先给一个求1~n的逆序数】
//线段树 求逆序数
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define L(a) a<<1
#define R(a) (a<<1)|1
const int maxn = 51000;
int ans[maxn];
struct node{
int num,l,r;
}tree[maxn<<2];
int n;
void Build(int m,int l, int r){
tree[m].l=l;
tree[m].r=r;
if(tree[m].l==tree[m].r){
tree[m].num=0;
return ;
}
int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
Build(L(m),l,mid);
Build(R(m),mid+1,r); //并不要回溯， 建立空树
}
void Insert(int m,int l,int r,int x){
if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
tree[m].num+=x; return ;
}
int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
if(r<=mid)
Insert(L(m),l,r,x);
else if(l>mid)
Insert(R(m),l,r,x);
else{
Insert(L(m),l,mid,x);
Insert(R(m),mid+1,r,x);
}
tree[m].num=tree[L(m)].num+tree[R(m)].num;
}
int Query(int m,int l,int r){
if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r)
return tree[m].num;
int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
if(r<=mid)
return Query(L(m),l,r);
if(l>mid)
return Query(R(m),l,r);
return Query(L(m),l,mid)+Query(R(m),mid+1,r);
}
int main(){
int a,n,i,t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
int k=0;
scanf("%d",&n);
memset(tree,0,sizeof(tree));
Build(1,1,n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&ans[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
Insert(1,ans[i],ans[i],1);// 每个位置插入1
k+=(i - Query(1,1,ans[i]));
}
printf("%d\n",k);
}
return 0;
}
HDU 1394求多个逆序数中的最小值
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define L(a) a<<1
#define R(a) a<<1|1
using namespace std;
int n;
const int maxn = 5005;
int num[maxn];
struct node{
int l,r,sum;
}tree[maxn<<2];
void Build(int m,int l,int r){
tree[m].l=l; tree[m].r=r;
if(tree[m].l==tree[m].r){ //如果当前节点的左右节点相同，即叶子节点
tree[m].sum=0;
return ;
}
int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
Build(L(m),l,mid);
Build(R(m),mid+1,r);
}
void Insert(int m,int l,int r,int x){
if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
tree[m].sum+=x;
return ;
}
int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
if(mid>=r) //这里是大于等于
Insert(L(m),l,r,x);
else if(mid<l)
Insert(R(m),l,r,x);
else{
Insert(L(m),l,mid,x);
Insert(R(m),mid+1,r,x);
}
tree[m].sum=tree[L(m)].sum+tree[R(m)].sum;
}
int Query(int m,int l,int r){
if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
return tree[m].sum;
}
int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
//这里和 Insert 一样
if(mid>=r)
return Query(L(m),l,r);
if(mid<l)
return Query(R(m),l,r);
return Query(L(m),l,mid)+Query(R(m),mid+1,r);
}
int main(){
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
memset(tree,0,sizeof(tree));
Build(1,1,n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&num[i]);
num[i]++;
}
int count=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
Insert(1,num[i],num[i],1);
count+=(i-(Query(1,1,num[i])));
}
int ans = count;
for(int i=1;i<=n;i++){
num[i]--;
count = count - num[i]*2 + n -1;
if(count<ans)
ans = count;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
这个需要用到离散化，
建立一个结构体包含val和id， val就是输入的数，id表示输入的顺序。然后按照val从小到大排序，如果val相等，那么就按照id排序。
如果没有逆序的话，肯定id是跟i（表示拍好后的顺序）一直一样的，如果有逆序数，那么有的i和id是不一样的。所以，利用树状数组的特性，我们可以简单的算出逆序数的个数。
如果还是不明白的话举个例子。（输入4个数）
输入：9 -1 18 5
输出 3.
输入之后对应的结构体就会变成这样
val：9 -1 18 5
id： 1 2 3 4
排好序之后就变成了
val ： -1 5 9 18
id： 2 4 1 3
2 4 1 3 的逆序数 也是3
之后再利用树状数组的特性就可以解决问题了；
因为数字可能有重复， 所以添加操作不再单纯的置为1 ，而是 ++；
【源代码】
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int n;
const int maxn = 1000005;
struct node{
int val,id;
}N[maxn];
int c[maxn];
int cmp(const node &a,const node& b ){
if(a.val==b.val)
return a.id<b.id;
return a.val<b.val;
}
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
void add(int x){
while(x<=n){
c[x]++; //可能有重复，因为用++ 不用 = 1；
x+=lowbit(x);
}
return;
}
int Sum(int x){
int ans = 0;
while(x>0){
ans+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}
int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&N[i].val);
N[i].id=i;
}
sort(N+1,N+n+1,cmp);//从 1 - n 排序
memset(c,0,sizeof(c)); //不要忘记初始化
long long ans=0; //用 int 会爆掉
for(int i=1;i<=n;i++){
add(N[i].id);
ans+=(i-Sum(N[i].id));
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
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