图论算法小结

//邻接矩阵存储结构定义如下：
//邻接矩阵包含两种数组：顶点表和边表
#define MaxVertexNum 100				//顶点数目的最大值
typedef char VertexType;				//顶点的数据类型
typedef int EdgeType;					//带权图中边上权值的数据类型
typedef struct{
	VertexType Vex[MaxVertexNum];				//顶点表
	EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];	//邻接矩阵，边表
	int vexnum,arcnum;					//图的当前顶点数和弧数
}AGraph;
//邻接表法：
//邻接表中存在两种结点：顶点表结点和边表结点。其中，顶点表包含：顶点域和边表头指针；边表结点包含：邻接点域和指针域
#define MaxVertexNum 100				//图中顶点数目的最大值
typedef struct ArcNode{							//边表结点
	int adjvex;							//该弧所指向的顶点的位置
	struct ArcNode *next;				//指向下一条弧的指针
	//InfoType ifo;						//网的边权值
}ArcNode;
typedef struct VNode{							//顶点表结点
	VertexType data;					//顶点信息
	ArcNode *first;						//指向第一条依附该顶点的弧的指针
}VNode,AdjList[MaxVertexNum];
typedef struct{
	AdjList vertices;							//邻接表
	int vexnum,arcnum;					//图的顶点数和弧数
}ALGraph;								//ALGraph是以邻接表存储的图类型
/*
说明：
	ALGraph G;
	G.vertices[i]:邻接表中顶点表数组中的元素（是一个结构体）。
	p=G.vertices[i].first:邻接表中顶点表数组中下标为i的元素指向的第一个边表结点的地址（也即指向的第一个边表结点）。
	p->adjvex:边表结点的结点号。
	p->next:下一个边表结点的地址（也即指向的下一个边表结点）。
	"v=FirstNeighbor(G,i);"等价于："v=G.vertices[i].first->adjvex;"
	FirstNeighbor(G,x):求图中顶点x的第一个邻接点，若有则返回顶点号。若x没有邻接点或图中不存在x，则返回-1。
	NextNeightor(G,x,y):假设图G中顶点y是顶点x的一个邻接点，返回除y之外顶点x的下一个邻接点的顶点号，若y是x的最后一个邻接点，则返回-1。
对于图的不同的存储结构留有相同的函数，例如：
//以邻接矩阵作存储结构
int NextNeighbor(AGraph G,int x,int y){
	if(x!=-1 && y!=-1){
		for(int col=y+1;col<G.vexnum;col++)
			if(G.Edge[x][col]>0 && G.Edge[x][col]<maxWeight)	//maxWeight代表无穷
				return col;
	}
	return -1;
}
//以邻接表作存储结构
int NextNeighbor(ALGraph G,int x,int y){
	if(x!=-1){
		ArcNode *p=G.vertices[x].first;
		while(p!=NULL && p->data!=y)
			p=p->next;
		if(p!=NULL && p->next!=NULL)
			return p->next->data;
	}
	return -1;
}
*/
//从图的邻接表表示转换成邻接矩阵表示的算法：
void Convert(ALGraph &G,int arcs[N][N]){
	int i=0,t=0;
	for(i=0;i<N;i++){
		for(t=FirstNeighbor(A,i);t>=0;t=NextNeighbor(A,i,t))
			arcs[i][t]=1;
	}
}
//或者：
void Convert(ALGraph &G,int arcs[N][N]){
	int i=0;
	ArcNode p;
	for(i=0;i<N;i++){
		p=G.vertices[i].first;			//或者：p=((&G)->vertices[i]).first;
		while(p!=NULL){
			arcs[i][p->data]=1;
			p=p->nextarc;
		}
	}
}
//广度优先搜索（Breadth-First-Search,BFS）
bool visited[MAX_VERTEX_NUM);			//访问标记数组
void BFSTraverse(Graph G){				//对图G进行广度优先遍历，设访问函数为visit()
	for(i=0;i<G.vexnum;i++)
		visited[i]=FALSE;				//访问标志数组初始化
	InitQueue(Q);						//初始化辅助队列Q
	for(i=0;i<G.vexnum;i++)				//从0号顶点开始遍历
		if(!visited[i])					//对每个连通分量开始遍历
			BFS(G,i);					//v[i]未访问过，从v[i]开始BFS
}
void BFS(Graph G,int v){				//从顶点v出发，广度优先遍历图G，算法借助一个辅助队列Q
	visit(v);							//访问初始顶点v
	visited[v]=TRUE;					//对v做已访问标志
	Enqueue(Q,v);						//顶点v入队列
	while(!isEmpty(Q)){
		DeQueue(Q,v);					//顶点v出队列
		for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w))	//检测v所有邻接点
			if(!visited[w]){			//w为v的尚未访问的邻接顶点
				visit(w);				//访问顶点w
				visited[w]=TRUE;		//对w做已访问标记
				EnQueue(Q,w);			//顶点w入队列
			}
	}
}
//BFS算法求解单源最短路径问题的算法：
void BFS_MIN_Distance(Graph G,int u){	//d[i]表示从u到i结点的最短路径
	for(i=0;i<G.vexnum;i++)
		d[i]=INF						//初始化路径长度为无穷
	visited[u]=TRUE;
	d[u]=0;
	EnQueue(Q,u);
	while(!isEmpty(Q)){					//BFS算法主过程
		DeQueue(Q,u);
		for(w=FirstNeighbor(G,u);w>=0;w=NextNeighbor(G,u,w))
			if(!visited[w]){
				visited[w]=TRUE;
				d[w]=d[u]+1;			//路径长度加1
				EnQueue(Q,w);
			}
	}
}
//深度优先搜索（Depth-First-Search,DFS）
bool visited[MAX_VERTEX_NUM];			//访问标记数组
void DFSTraverse(Graph G){				//对图G进行尝试优先遍历，访问函数为visit()
	for(v=0;v<G.vexnum;v++)
		visited[v]=FALSE;				//访问标志数组初始化
	for(v=0;v<G.vexnum;v++)				//本代码中是从v=0开始遍历
		if(!visited[v])
			DFS(G,v);
}
void DFS(Graph G,int v){				//从顶点v出发，采用递归思想，深度优先遍历图G
	visit(v);							//访问顶点v
	visited[v]=TRUE;					//设已访问标记
	for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w))
		if(!visited[w]){				//w为u的尚未访问的邻接顶点
			DFS(G,w);
		}
}
//判断一个无向图G是否为一棵树
//思路：一个无向图G是一棵树的条件是：G必须是无回路的连通图或者是有n-1条边的连通图（这里采用后一种方法）
//法一：广度优先搜索
bool visited[MAX_VERTEX_NUM]；
int Vnum=0,Enum=0;
bool IsTree1(Graph G){
	int v=0,w;
	for(v=0;v<G.vexnum;v++)
		visited[v]=FALSE;
	v=0;
	visited[v]=TRUE;
	EnQueue(Q,v);
	Vnum=1;
	while(!IsEmpty(Q)){
		DeQueue(Q,v);
		for(w=FirstNeighbor(Q,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w)){
			Enum++;
			if(!visited[w]){
				visited[w]=TRUE;
				EnQueue(Q,w);
				Vnum++;
			}
		}
	}
	if(Vnum==G.vexnum && Enum==2*(G.vernum-1))
		return TRUE;
	else
		return FALSE;
}
//法二：深度优先搜索：
bool visited[MAX_VERTEX_NUM]；
int Vnum=0,Enum=0;
bool IsTree2(Graph G){
	for(i=1;i<=G.vexnum;i++)
		visited[i]=FALSE;
	DFS(G,1);
	if(Vnum==G.vexnum && Enum==2*(G.vexnum-1))
		return TRUE;
	else
		return FALSE;
}
void DFS(Graph G,int v){
	visited[v]=TRUE;
	Vnum++;
	int w=FirstNeighbor(G,v);
	while(w!=-1){						//可以写成for的形式
		Enum++;
		if(!visited[w])
			DFS(G,w);
		w=NextNeighbor(G,v,w);
	}
}
//附：判断一个有向图是否为一棵树的算法：		//这个好像有点问题？？？
int Vnum=0;
bool visited[MAX_VERTEX_NUM];
bool IsTree(Graph G){
	for(v=0;v<G.vexnum;v++)
		visited[v]=FALSE;
	if(!DFS(G,v))
		return FALSE;
	if(Vnum==G.vexnum)
		return TRUE;
	else
		return FALSE;
}
bool DFS(Graph G,int v){
	visited[v]=true;
	Vnum++;
	for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w)){
		if(visited[w])
			return FALSE;
		if(!DFS(G,w))					//如果访问到了已访问过的结点，就一直返回FALSE，直到退出，说明不是一个棵。
			return FSLSE;
	}
	return TRUE;
}
//DFS的非递归算法：
//法一：此算法栈叶元素是v到i的路径，但是仅仅是一条路径，无法找到所有路径。（下面有一个算法可以打印所有简单路径。）
bool visited[MAX_VEXNUM_NUM];
void DFS_Non_RC(ALGraph G,int v){
	for(v=0;v<G.vexnum;v++)
		visited[v]=FALSE;
	InitStack(S);
	for(v=0;v<G.vexnum;v++)
		if(!visited[v]){
			//DFS
			while(v>=0 || !IsEmpty(S)){
				while(v>=0){
					if(!visited[v]){
						visit(v);
						visited[v]=TRUE;
						Push(S,v);
						v=FirstNeighbor(G,v);	//或v=G.vertices[v].first->adjvex;
					}
					else
						break;
				}
				Pop(S,w);
				GetTop(S,v);
				w=NextNeighbor(G,v,w);
				while(w>=0 && visited[w])		//退出循环时，w可能为-1或者是w>=0但是没有被访问过
					w=NextNeighbor(G,v,w);
				v=w;
			}
		}
}
//法二：此算法是从右端到左端的顺序进行的。栈中的元素不是v到i的路径。
bool visited[MAX_VEXNUM_NUM];
void DFS_Non_RC(ALGraph G,int v){
	int w;
	InitStack(S);
	for(i=0;i<G.vexnum;i++)
		visited[i]=FALSE;
	Push(S,v);
	visited[v]=TRUE;
	while(!IsEmpty(S){
		k=Pop(S);
		visit(k);
		for(w=FirstNeighbor(G,k);w>=0;w=NextNeighbor(G,k,w))
			if(!visited[w]){
				Push(S,w);
				visited[w]=TRUE;
			}
	}
}
//判断以邻接表方式存储的有向图中是否存在同顶点i到顶点j的路径（i!=j）。
//法一：BFS
bool visited[MAX_VEXNUM_NUM];
bool BFSTest(ALGraph G,int i,int j){
	int v=0;
	for(v=0;v<G.vexnum;v++)
		visited[v]=FALSE;
	InitQueue(Q);
	EnQueue(Q,i);
	visited[i]=TRUE;
	while(!IsEmpty(Q)){
		DeQueue(Q,v);
		for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w)){
			if(w==j)
				return TRUE;
			if(!visited[w]){
				EnQueue(Q,w);
				visited[w]=TRUE;
			}
		}
	}
	return FALSE;
}
//法二：DFS
bool visited[MAX_VEXNUM_NUM];
bool DFSTest(ALGraph G,int i,int j){
	int v=0;
	for(v=0;v<G.vexnum;v++)
		visited[v]=FALSE;
	//可采用非递归DFS，这里采用递归DFS
	return DFS(G,i,j);
}
bool DFS(ALGraph G,int i,int j){
	visited[i]=TRUE;
	for(w=FirstNeighbor(G,i);w>=0;w=NextNeighbor(G,i,w)){
		if(w==j)
			return TRUE;
		if(!visited[w])
			if(DFS(G,w,j))				//如果找到，一直返回TRUE，直到退出
				return TRUE;
	}
	return FALSE;
}
//输出图中从顶点i到顶点j的所有简单路径
//法一：非递归DFS
bool visited[MAX_VEXNUM_NUM];
void DFS_Non_RC_Path(AGraph G,int i,int j){
	int S[MAX_VEXNUM_NUM];				//栈
	int top=-1,v=0;
	for(v=0;v<G.vexnum;v++)
		visited[v]=FALSE;
	while(v>=0 || top!=-1){
		while(v>=0){
			if(!visited[v]){
				if(v==j){				//打印路径
					for(i=0;i<=top;i++)
						printf("%d ",S[i]);
					printf("%d\n",j);
					break;
				}
				visited[v]=TRUE;
				S[++top]=v;				//Push
				v=FirstNeighbor(G,v);
			}
			else
				break;
		}
		w=s[top--];						//Pop
		visited[w]=FALSE				//退栈时清除访问标记
		v=s[top];						//GetTop
		w=NextNeighbor(G,v,w);
		while(w>=0 && visited[w])
			w=NextNeighbor(G,v,w);
		v=w;
	}
}
//法二：递归DFS
bool visited[MAX_VEXNUM_NUM];
int d=-1;
int path[MAX_VEXNUM_NUM];
void FindPath(AGraph G,int i,int j){
	int v=0;
	for(v=0;v<G.vexnum;v++)
		visited[v]=FALSE;
	DFS_Path(G,i,j);
}
void DFS_Path(ALGraph G,int u,int v){
	int w;
	ArcNode *p;
	d++;
	path[d]=u;
	visited[u]=TRUE;
	if(u==v)
		print(path,d+1);
	p=G.vertices[v].first;			//*	可以改为：for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w))
	while(p!=NULL){					//*				if(!visited[w])
		w=p->adjvex;				//*					DFS_Path(G,w,v);
		if(!visited[w])				//*
			DFS_Path(G,w,v);		//*
		p=p->next;					//*
	}								//*
	visited[u]=FALSE;
	d--;
}
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**************************************************  图的应用  *****************************************************
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//最小生成树（Minimum-Spanning-Tree,MST)
//Prim（对比最短路径中的Dijkstra算法）
#define INFINITY 10000
#define MAX_VERTICES 5
typedef int Graph[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES];
void prim(Graph G,int vcount,int father[]){
	int i,j,k;
	int lowcost[MAX_VERTICES],closeset[MAX_VERTICES],used[MAX_VERTICES];
	for(i=0;i<vcount;i++){
		lowcost[i]=G[0][i];				//有边的点对应的是边的权值，没有边的点对应的是INFINITY
		closeset[i]=0;					//最小权值边在已加入点集中的点
		used[i]=0;
		father[i]=-1;
	}
	//此时，0点已经在已加入点集中，但是并不把used[0]设置为1，因为，此时才刚开始，还不知道哪个点与0连成的边的权值最小
	for(i=1;i<vcount;i++){
		j=0;
		while(used[j]) j++;
		for(k=0;k<vcount;k++)
			if(!used[k] && lowcost[k]<lowcost[j]) j=k;
		father[i]=closeset[j];			//这个father[]可以不要，因为，已加入到已加入点集中的点的closeset[]值不会变，最终程序退出时，closeset[]中就会有相应的信息
		used[j]=1;						//每加入一个点，就更新未加入点到已加入点集中的点的最短路径信息
		for(k=0;k<vcount;k++)
			if(!used[k] && G[j][k]<lowcost[k]){		//更新最短路径信息
				lowcost[k]=G[j][k];
				closeset[k]=j;
			}
	}
}
//Kruskal
typedef struct {
	int a;
	int b;
	int pri;
} Node;
void kruskal(Graph G,int Vcount,int Ecount,int father[]){
	Node p[Ecount],temp;
	int t=0,i,j;
	for(i=0;i<Vcount;i++)
		for(j=0;j<Vcount;j++)
			if(i!=j){
				temp.a=i;
				temp.b=j;
				temp.pri=G[i][j];
				for(k=t-1;k>=0;k--)
					if(p[k].pri > temp.pri)
						p[K+1]=p[k];
					else
						break;
				p[k+1]=temp;
				t++;
			}
	//生成树
	memset(used,0,sizeof(used));
	memset(father,-1,sizeof(father));
	for(i=0;i<t;i++)
		if(!used[p[i].a] || !used[p[i].b]){		//只要此边有一个点不在used中，就加入此边
			used[p[i].a]=used[p[i].b]=1;
			father[p[i].b]=p[i].a;
		}
	//假设图一定能生成一棵树，这里就不用判断了。
}
//最短路径
//Dijkstra求单源最短路径
void Dijkstra(Graph G,int Vcount,int s,int path[],int dist[]){		//Vcount:顶点个数；s:开始结点；path[]用于返回由开始结点到相应结点的路径指示
	int i,j,w,minc,dist[Vcount],mark[Vcount];
	memset(mark,0,Vcount);
	for(i=0;i<Vcount;i++){
		dist[i]=G[s][i];
		path[i]=s;
	}
	mark[s]=1;path[s]=0;dist[s]=0;
	for(i=1;i<Vcount;i++){
		minc=INFINITY;
		w=0;
		for(j=0;j<Vcount;j++)
			if(!mark[j] && minc>=dist[j]){
				minc=dist[j];
				w=j;
			}
		mark[w]=1;
		for(j=0;j<Vcount;j++)
			if(!mark[j] && G[w][j]!=INFINITY && dist[j]>dist[w]+G[w][j]){
				dist[j]=dist[w]+G[w][j];
				path[j]=w;
			}
	}
}
//注意：输入的图的边的权值必须非负（这是Dijkstra的局限性所在）.
//顶点号从0开始，用如下方法打印路径：
void printpath(int path[],int s,int t){	//t:目标结点
	int i=t;
	while(i!=s){
		printf("%d<--",i+1);
		i=path[i];
	}
	printf("%d\n",s+1);
}
//Floyd_Warshall算法（简称为：Floyd算法）用于求各顶点之间最短路径问题
void Floyd_Warshall(Graph G,int Vcount,Graph D,Graph P){		//D:D[i][j]表示从i到j的最短距离；P:P[i][j]表示从i到j的最短路径上的结点
	int i,j,k;
	for(i=0;i<Vcount;i++)
		for(j=0;j<Vcount;j++){
			D[i][j]=G[i][j];
			P[i][j]=i;
		}
	for(i=0;i<Vcount;i++){
		D[i][i]=0;
		P[i][i]=0;
	}
	for(k=0;k<Vcount;k++)
		for(i=0;i<Vcount;i++)
			for(j=0;j<Vcount;j++)
				if(D[i][j]>D[i][k]+D[k][j]){
					D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];
					P[i][j]=P[k][j];
				}
}
//顶点号从0开始，用如下方法打印路径：
void printpath(int P[],int s,int t){	//s:出发结点；t:目标结点
	int i=t;
	while(i!=s){
		printf("%d<--",i+1);
		i=P[s][i];
	}
	printf("%d\n",s+1);
}
//Bellman_Ford:求单源最短路径
void Bellman_Ford(Graph G,int Vcount,int s,int path[],int &success){
	int i,j,k,dist[Vcount];
	for(i=0;i<n;i++){
		dist[i]=INFINITY;
		path[i]=0;
	}
	dist[s]=0;
	for(k=1;k<Vcount;k++)
		for(i=0;i<Vcount;i++)
			for(j=0;j<Vcount;j++)
				if(dist[j]>dist[i]+G[i][j]){
					dist[j]=dist[i]+G[i][j];
					path[j]=i;
				}
	success=0;
	for(i=0;i<Vcount;i++)
		for(j=0;j<Vcount;j++)
			if(dist[j]>dist[i]+G[i][j])
				return 0;
	success=1;
}
//注意：输入的图的边的权可以为负（这也正是这个算法的用处所在），如果存在一个从源点可达的权为负的回路则success为0。
//顶点号从0开始，用如下方法打印路径：
void printpath(int path[],int s,int t){	//s:出发结点；t:目标结点
	int i=t;
	while(i!=s){
		printf("%d<--",i+1);
		i=path[i];
	}
	printf("%d\n",s+1);
}
//拓扑排序
//法一：
bool TopologicalSort(Graph G){
	int i=0,count=0;
	InitStack(S);
	for(i=0;i<G.vexnum;i++)
		if(indegree[i]==0)
			Push(S,i);
	while(!IsEmpty(S)){
		Pop(S,i);
		print[count++]=i;
		for(p=G.vertices[i].first;p;p=p->next){
			v=p->adjvex;
			if(!(--indegree[v]))
				Push(S,v)
		}
	}
	if(count<G.vexnum)
		return FALSE;
	else
		return TRUE;
}
//法二：利用DFS求各结点的访问结束时间，将结束时间从大到小排序即可得到一条拓扑序列。
bool visited[MAX_VERTEX_NUM];
int finishTime[MAX_VERTEX_NUM];
int time=0;
void DFS_Traverse(Graph G){
	memset(visited,0,sizeof(visited));
	memset(finishTime,0,sizeof(finishTime));
	for(v=0;v<G.vexnum;v++)
		if(!visited[v])
			DFS(G,v);
	//对finishTime[]按时间值从大到小输出即得到一条拓扑序列
	print(finishTime);
}
void DFS(Graph G,int v){
	visited[v]=TRUE;
	for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w))
		if(!visited[w])
			DFS(G,w);
	time+=1;
	finishTime[v]=time;
}