【bzoj题解】2186 莎拉公主的困惑

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题意：求\([1,n!]\)中与\(m!\)互质的数的个数，对质数\(R\)取模，\(n\geq m\)。

答案应该等于\(\frac{n!}{m!}\phi(m!)=\frac{n!}{m!}m!\prod_{p|m!}\frac{p-1}{p}=n!\frac{\prod_{p\leq m}\,p-1}{\prod_{p\leq m}\,p}\)。

这里\(p\)为小于等于\(m\)的质数。

所以我们处理出阶乘，以及质数的乘积和对\(R\)的逆元就能得出答案。

你真的这么想？

naive！simple！

如果\(n\geq R\)，答案一定为\(0\)吗？

可以看看这组数据：

1 3
4 3

答案为\(2\)，因为\(8\,mod\,3=2\)。

但是\(4!\frac{1\cdot 2}{2\cdot 3}\)呢？\(4!=24\)，而\(24\,mod\,3=0\)，但是答案非\(0\)。

正确的做法是什么？

当\(n\geq R\)时，如果\(m\geq R\)的话，\(n!\)中的因子\(R\)就有可能被分母消掉，我们应该要对\(n\geq R\)的\(n!\)消掉一个\(R\)，对\(m\geq R\)的分母也消掉一个\(R\)。

这样就不会有问题了。

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
 3 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
 4 int T,Mod,n,m;
 5 int primes[664580], pnum=0;
 6 bool isn_prime[10000001];
 7 int pi[664580],inv[10000001];
 8 int in[664580],fct[10000001];
 9 int pos[10000001];
10 void init(){
11     isn_prime[0]=isn_prime[1]=1;
12     F(i,2,10000000){
13         if(!isn_prime[i]) primes[++pnum]=i;
14         for(int j=1;j<=pnum&&primes[j]*i<=10000000;++j){
15             isn_prime[primes[j]*i]=1;
16             if(i%primes[j]==0) break;
17         }
18     }
19     inv[1]=1; for(int i=2;i<Mod&&i<=10000000;++i)
20         inv[i]=1ll*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
21     pi[0]=1; F(i,1,pnum) pi[i]=1ll*pi[i-1]*(primes[i]-1)%Mod;
22     in[0]=1; F(i,1,pnum) if(primes[i]!=Mod) in[i]=1ll*in[i-1]*inv[primes[i]%Mod]%Mod; else in[i]=in[i-1];
23     fct[0]=1; F(i,1,10000000) if(i!=Mod) fct[i]=1ll*fct[i-1]*i%Mod; else fct[i]=fct[i-1];
24     F(i,2,10000000) if(isn_prime[i]) pos[i]=pos[i-1]; else pos[i]=pos[i-1]+1;
25 }
26 int main(){
27     scanf("%d%d",&T,&Mod);
28     init();
29     while(T--){
30         scanf("%d%d",&n,&m);
31         if(n>=Mod&&m<Mod) puts("0");
32         else printf("%d\n",1ll*fct[n]*pi[pos[m]]%Mod*in[pos[m]]%Mod);
33     }
34     return 0;
35 }

原文地址：https://www.cnblogs.com/PinkRabbit/p/8166797.html