NOI题库 1768最大子矩阵 题解
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描述
已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。
比如，如下4 * 4的矩阵
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
的最大子矩阵是
9 2
-4 1
-1 8
这个子矩阵的大小是15。
输入
输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。
输出
输出最大子矩阵的大小。
样例输入
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
样例输出
15
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分析
最初看到这道题时，我完全不知道怎么DP，只能想到暴力算法，这道题的最暴力想法就是枚举，但是这个想法的时间复杂度达到O(N^4),当数据较大时无法承受，经大神指点得知，可以使用动态规划解决这个问题。那么，怎么用动态规划呢？
最初学DP时，有一个求最大子段和的问题，可以通过DP解决，最大子矩阵只是最大子段和在二维中的扩展，为了能继续使用这种方法，我们需要将这个矩阵降维处理，降维操作如下图：
这是样例中4*4的矩阵，红色框中是进行降维操作的矩阵
降维的操作很简单，只需要将同一列的加和，就能得到目标序列，我们可以使用前缀和思想来优化这个操作。
通过这个操作可以将二维矩阵降维，随后就可以用区间DP的方法解决这个最大子矩阵的问题。
代码如下：
1 #include "cstdio"
2 #include "cstring"
3 #include "algorithm"
4 #include "cmath"
5 using namespace std ;
6
7 int gmax( int a , int b)//求最大值
8 {
9 return a > b ? a : b ;
10 }
11
12 int best[110], temp[110];
13
14 int tmp[110][110], pr[110][110];
15
16 void Init ( int n )
17 {
18 for( int i = 1 ; i <= n ; ++i )pr[1][i] = tmp[1][i] ;//pr[]数组用前缀和思想
19 for(int i = 2 ; i <= n ; ++i )
20 for (int j = 1 ; j <= n ; ++j )
21 pr[i][j] = pr[i - 1][j] + tmp[i][j] ;//计算前缀和
22 return ;
23 }
24
25 int solve ( int *a , int N)
26 {
27
28 memset ( best , 0 , sizeof(best));//best数组表示以i为结尾的最大子序列和
29 int ans = -2147483647 ;
30 for ( int i = 1 ; i <= N ; ++i)
31 {
32 if ( best[i - 1] + a[i] > a[i])
33 {
34 best[i] = best[i - 1] + a[i] ;//DP方程
35 }
36 else
37 {
38 best[i] = a[i] ;//DP方程
39 }
40 }
41 for ( int i = 1 ; i <= N ; ++i )ans = gmax( ans , best[i]);//求出best数组中的最大值，即最大子序列和
42 return ans ;
43 }
44
45 int main ( )
46 {
47 int ans = -2147483647 , n;
48 scanf("%d", &n);
49 for(int i = 1 ; i <= n ; ++i )
50 {
51 for (int j = 1 ; j <= n ; ++j )
52 {
53 scanf("%d", &tmp[i][j]);
54 }
55 }
56 Init ( n );//预处理
57 for ( int i = 1 ; i <= n ; ++i)
58 {
59 for ( int j = i ; j <= n ; ++j )
60 {
61 memset( temp , 0 , sizeof(temp));
62 for ( int k = 1 ; k <= n ; ++k )
63 {
64 temp[k] = pr[j][k] - pr[i - 1][k];//temp数组是降维后的数组
65 }
66 ans = gmax(solve ( temp , n) , ans );//求出最大值
67 }
68 }
69 printf("%d\n", ans);
70 return 0 ;
71 }
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（完）