POJ 2142 - The Balance [ 扩展欧几里得 ]

题意：

　　给定 a b n找到满足ax+by=n 的x，y 令|x|+|y|最小（等时令a|x|+b|y|最小）

分析：

　　算法一定是扩展欧几里得。

　　最小的时候一定是 x 是最小正值 或者 y 是最小正值

　　　　(简单的证明应该是分x,y 符号一正一负，和x,y符号都为正来考虑)

　　扩欧解的方程为 ax+by = gcd(a, b)

　　先简化问题，等价为扩欧求的是 a‘x+b‘y = 1

　　则原方程等价为 a‘x+b‘y = n‘ (a, b, n 全部除以gcd(a, b) )

　　先解x为最小正值的时候

　　　　　　x = (x % b‘ + b‘) % b‘

　　　　此时y = (n‘ - x*a) / b

　　考虑 y时同理。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 using namespace std;
 5 int abs(int x)
 6 {
 7     return x > 0 ? x : -x;
 8 }
 9 int ExtGcd(int a, int b, int& x, int& y)
10 {
11     if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a;}
12     int d = ExtGcd(b, a%b, y, x);
13     y -= a/b*x;
14     return d;
15 }
16 int a, b, d;
17 int main()
18 {
19     while (~scanf("%d%d%d", &a, &b, &d) && (a+b+d))
20     {
21         int x, y;
22         int gcd = ExtGcd(a, b, x, y);
23         a /= gcd;//简化问题
24         b /= gcd;
25         d /= gcd;
26         x *= d;
27         x = (x%b+b) % b;//x大于0的最小值
28         y = (d-x*a) / b;//对应 y
29         int ans1 = abs(x), ans2 = abs(y);
30         y = (y%a+a) % a;
31         x = (d-y*b) / a;
32         int x0 = abs(x);
33         int y0 = abs(y);
34         if (x0+y0 < ans1+ans2 ) ans1 = x0, ans2 = y0;
35         else if (x0+y0==ans1+ans2 && a*x0+b*y0 < a*ans1+b*ans2) ans1 = x0, ans2 = y0;
36         printf("%d %d\n", ans1, ans2);
37     }
38 }
39 //