题目描述
一张n*m的地图，每个格子里面有一定数量的神奇宝贝，求一个最优位置，使得所有神奇宝贝到该位置的曼哈顿距离最小。
一共有T组数据，每组数据包含两行，第一行是n和m(1<=n,m<=2000)，第二行是三个整数x,y,q，表示处于（i，j）(1<=i<=n,1<=j<=m)的神奇宝贝的数量为((x^i) + (y^j))mod q，其中1<=x,y<=2000，1<=q<=10。
输出最小的曼哈顿距离和。
解题思路
这道题与2015编程之美挑战赛的基站选址类似（其实可以说是简单版），当时我没有做出来，给个地址吧：http://hihocoder.com/problemset/problem/1150
分析题目可以发现，由于是求曼哈顿距离，所以横行和竖行可以分开考虑，于是问题就变成了求加权平均数的问题。
公式：ans_x = ∑(ai*i) / ∑ai，ans_y = ∑(bj*j) / ∑bj，其中ai表示第i行的神奇宝贝数量，bi表示第i列的神奇宝贝数量，当然有∑ai == ∑bj。
这里有两点需要注意：
1、当结果不是整数时，涉及到向上取整还是向下取整的问题，由于与所有非零点的分布有关，所以最简单的办法是有可能成为答案的四个点都做一次判断就好了。
2、这里涉及到除法，所以可能会出现分母为零的情况，即地图上木有神奇宝贝【o(≧口≦)o摔桌子】，所以要特判…… 我才不会说我因为这个wa了好久QAQ
附：c++代码
（代码中有被注释掉的高精度的部分，因为我之前对数据规模的估计出错了…… 目前的高精度的代码还有错误，所以借鉴需要注意……）
时间复杂度O(n^2)
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 #include <cmath>
4
5 using namespace std;
6 #define MaxN 2020
7 #define MLen 14
8
9 typedef int hp[MLen];
10 typedef long long llt;
11
12 llt H[MaxN], L[MaxN];
13 int n, m;
14
15 inline void Add(hp a, hp b, hp &Ret)
16 {
17 int i, Len = max(a[0], b[0]) + 1;
18 hp c;
19 for(i = 1; i <= Len; i++)
20 c[i] = 0;
21 for(i = 1; i <= Len; i++)
22 {
23 c[i] += a[i] + b[i];
24 c[i + 1] += c[i] / 10;
25 c[i] %= 10;
26 }
27 while(Len > 1 && c[Len] == 0)
28 Len--;
29 c[0] = Len;
30 for(i = 0; i <= Len; i++)
31 Ret[i] = c[i];
32 }
33
34 inline void Add_Num(hp a, int b, hp &Ret)
35 {
36 int i, Len = a[0] + 1;
37 hp c;
38 for(i = 1; i <= Len - 1; i++)
39 c[i] = a[i];
40 c[i] = 0;
41 c[1] += b;
42 for(i = 1; i <= Len; i++)
43 {
44 c[i + 1] += c[i] / 10;
45 c[i] %= 10;
46 }
47 while(Len > 1 && c[Len] == 0)
48 Len--;
49 c[0] = Len;
50 for(i = 0; i <= Len; i++)
51 Ret[i] = c[i];
52 }
53
54 inline void Mul_Num(hp a, int b, hp &Ret)
55 {
56 int i, Len = a[0] + 5;
57 hp c;
58 for(i = 1; i <= a[0]; i++)
59 c[i] = a[i] * b;
60 for(i = a[0] + 1; i <= Len; i++)
61 c[i] = 0;
62 for(i = 1; i <= Len; i++)
63 {
64 c[i + 1] += c[i] / 10;
65 c[i] %= 10;
66 }
67 while(Len > 1 && c[Len] == 0)
68 Len--;
69 c[0] = Len;
70 for(i = 0; i <= Len; i++)
71 Ret[i] = c[i];
72 }
73
74 inline bool Check(hp a, hp b) // a<b
75 {
76 if(a[0] < b[0])
77 return true;
78 if(a[0] > b[0])
79 return false;
80 for(int i = a[0]; i >= 1; i--)
81 if(a[i] < b[i])
82 return true;
83 else if(a[i] > b[i])
84 return false;
85 return true;
86 }
87
88 inline int Chu(hp a, hp b) // a/b
89 {
90 int Low = 0, High = 2020, Mid;
91 hp tmp;
92 int op;
93 while(Low < High) //[,)
94 {
95 Mid = Low + (High - Low) / 2;
96 Mul_Num(b, Mid, tmp);
97 if(Check(tmp, a)) //tmp < a
98 {
99 Low = Mid + 1;
100 op = 0;
101 }
102 else
103 {
104 High = Mid;
105 op = 1;
106 }
107 }
108 if(!op)
109 return Low - 1;
110 else
111 return High - 1;
112 }
113
114 inline void Cal_Dis(int ph, int pl, llt &Ret)
115 {
116 int i, j;
117 //hp Ans;
118 llt Ans = 0;
119 //Ans[0] = 1; Ans[1] = 0;
120 for(i = 1; i < ph; i++)
121 //Add_Num(Ans, (ph - i) * H[i], Ans);
122 Ans += (llt)(ph - i) * H[i];
123 for(i = ph + 1; i <= n; i++)
124 //Add_Num(Ans, (i - ph) * H[i], Ans);
125 Ans += (llt)(i - ph) * H[i];
126 for(j = 1; j < pl; j++)
127 //Add_Num(Ans, (pl - j) * L[j], Ans);
128 Ans += (llt)(pl - j) * L[j];
129 for(j = pl + 1; j <= m; j++)
130 //Add_Num(Ans, (j - pl) * L[j], Ans);
131 Ans += (llt)(j - pl) * L[j];
132 //for(i = 0; i <= Ans[0]; i++)
133 // Ret[i] = Ans[i];
134 Ret = Ans;
135 }
136
137 inline void Print(hp a)
138 {
139 for(int i = a[0]; i >= 1; i--)
140 printf("%d", a[i]);
141 printf("\n");
142 }
143
144 int main()
145 {
146 int T;
147 int x, y, q;
148 int i, j, Num;
149 llt Ans, tmp;
150 //hp Sum_h, Sum_l, Psum_h, Psum_l;
151 llt Sum_h, Sum_l, Psum_h, Psum_l;
152 double ph, pl;
153 scanf("%d", &T);
154 while(T--)
155 {
156 scanf("%d%d", &n, &m);
157 scanf("%d%d%d", &x, &y, &q);
158 Psum_h = Psum_l = Sum_h = Sum_l = 0;
159 //Psum_h[0] = Psum_l[0] = Sum_h[0] = Sum_l[0] = 1;
160 //Psum_h[1] = Psum_l[1] = Sum_h[1] = Sum_l[1] = 0;
161 for(j = 1; j <= m; j++)
162 L[j] = 0;
163 for(i = 1; i <= n; i++)
164 {
165 H[i] = 0;
166 for(j = 1; j <= m; j++)
167 {
168 Num = ((x ^ i) + (y ^ j)) % q;
169 H[i] += Num;
170 L[j] += Num;
171 }
172 Sum_h += H[i];
173 Psum_h += (llt)i * H[i];
174 //Add_Num(Sum_h, H[i], Sum_h);
175 //Add_Num(Psum_h, i * H[i], Psum_h);
176 }
177 for(j = 1; j <= m; j++)
178 {
179 Sum_l += L[j];
180 Psum_l += (llt)j * L[j];
181 //Add_Num(Sum_l, L[j], Sum_l);
182 //Add_Num(Psum_l, j * L[j], Psum_l);
183 }
184 //ph = Chu(Psum_h, Sum_h);
185 //pl = Chu(Psum_l, Sum_l);
186 if(!Sum_h) //Sum_h == Sum_l
187 {
188 printf("0\n");
189 continue;
190 }
191 ph = Psum_h / Sum_h;
192 pl = Psum_l / Sum_l;
193 Cal_Dis(ph, pl, Ans);
194 Cal_Dis(ph + 1, pl, tmp);
195 //if(Check(tmp, Ans))
196 //for(i = 0; i <= tmp[0]; i++)
197 // Ans[i] = tmp[i];
198 if(tmp < Ans)
199 Ans = tmp;
200 Cal_Dis(ph, pl + 1, tmp);
201 //if(Check(tmp, Ans))
202 //for(i = 0; i <= tmp[0]; i++)
203 // Ans[i] = tmp[i];
204 if(tmp < Ans)
205 Ans = tmp;
206 Cal_Dis(ph + 1, pl + 1, tmp);
207 //if(Check(tmp, Ans))
208 //for(i = 0; i <= tmp[0]; i++)
209 // Ans[i] = tmp[i];
210 if(tmp < Ans)
211 Ans = tmp;
212 printf("%lld\n", Ans);
213 //Print(Ans);
214 }
215 return 0;
216 }
另一种思路
这是官方给的题解，没太明白O(n)是怎样实现的。
题目链接：https://biancheng.love/contest-ng/index.html#/29/problems
时间： 2024-10-06 03:27:49