洛谷1349 广义斐波那契数列 【矩阵乘法】

洛谷1349 广义斐波那契数列

题目描述

广义的斐波那契数列是指形如an=p*an-1+q*an-2的数列。今给定数列的两系数p和q，以及数列的最前两项a1和a2，另给出两个整数n和m，试求数列的第n项an除以m的余数。

输入输出格式

输入格式：

输入包含一行6个整数。依次是p,q,a1,a2,n,m，其中在p,q,a1,a2整数范围内，n和m在长整数范围内。

输出格式：

输出包含一行一个整数，即an除以m的余数。

输入输出样例

输入样例#1：

1 1 1 1 10 7

输出样例#1：

6

说明

数列第10项是55，除以7的余数为6。

【思路】

矩阵乘法。

n最大为maxlongint所以枚举肯定会有TLE。

这里用到了矩阵乘法。大体思想：因为每次的求解规则相同，所以可以构造一个转移矩阵，使得每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置。

开始矩阵B：

a2 a1

构造矩阵如下：

P 1

Q 0

（一次转换后为
p*a2+q*a1，a2 ）

因为要进行n-2次相同的转换所以用快速幂求解转换n-2次后的A’ 。

ans=B*A‘

注意： 矩阵乘法的顺序不能更改，否则可能不满足乘法要求。

LL 与 LL的乘法可能会爆精度，可以转化为小数相加的形式。

代码思想源于洛谷题解。

【代码】

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 using namespace std;
 4
 5 typedef long long LL;
 6 const int delen=23,delta=1<<23,deltb=delta-1;
 7 LL n,m,p,q,a1,a2;
 8
 9 LL Add(LL x,LL y) {
10     x+=y;
11     if(x>=m) x-=m;
12     return x;
13 }
14
15 LL multi(LL x,LL y) {  //对于long long型的 乘法+模 防止越界
16     LL ans=0;
17     while(y) {
18         if(y&deltb) ans=Add(ans,x*(y&deltb)%m);
19         x=x*delta%m;
20         y>>=delen;
21     }
22     return ans;
23 }
24
25 struct Matrix{
26     int r,c;
27     LL N[5][5];
28     Matrix operator *(const Matrix& rhs) const{
29         Matrix tmp={};
30         tmp.r=r, tmp.c=rhs.c;
31         for(int i=0;i<tmp.r;i++)
32           for(int j=0;j<tmp.c;j++) {
33                 for(int k=0;k<c;k++)  tmp.N[i][j] += multi(N[i][k],rhs.N[k][j]);
34                 tmp.N[i][j] %= m;
35           }
36         return tmp;
37     }
38
39     Matrix pow(LL p) const{
40         Matrix ans={} , tmp=*this;
41         ans.r=ans.c=r;
42         for(int i=0;i<r;i++) ans.N[i][i]=1;
43         while(p) {
44             if(p&1) ans=ans*tmp;
45             tmp=tmp*tmp;
46             p>>=1;
47         }
48         return ans;
49     }
50 };
51
52 int main() {
53     cin>>p>>q>>a1>>a2>>n>>m;
54     Matrix A,B;
55     A.r=A.c=2;
56     A.N[0][0]=p , A.N[1][0]=q , A.N[0][1]=1 , A.N[1][1]=0; //0
57     A=A.pow(n-2);
58
59     B.r=1 , B.c=2;
60     B.N[0][0]=a2,B.N[0][1]=a1;
61
62     B=B*A;    //B*A
63
64     cout<<B.N[0][0]%m;
65     return 0;
66 }