2548 自然数积分解

2548 自然数积分解

时间限制: 1 s

空间限制: 32000 KB

题目等级 : 黄金 Gold

题解

题目描述 Description

把自然数Ｎ分解为若干个自然数之积，输出方案数。

输入描述 Input Description

自然数N,（1≤n≤2000000000）

输出描述 Output Description

方案数

样例输入 Sample Input

20

样例输出 Sample Output

4

数据范围及提示 Data Size & Hint

20 可分为

20 
4 5
2 10
2 2 5

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这个题数据很大（TLE了2个），所以必须优化， 
先看没优化的程序：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int sum;
void dfs(int k,int n){
    if(k>n/k) return ;
    for(int j=k;j<=n;j++){
        if(n%j==0&&j<=n/j){
            sum++;
            dfs(j,n/j);
        }
    }
}
int main(){
    int n;sum=1;
    scanf("%d",&n);
    dfs(2,n);
    printf("%d\n",sum);
    return 0;
}

优化思路 
一个数n，可以分为 1×n 2 X ….(n减小)， 3× .. i× … 其中 i最大取到 √n，这样 数n 被分解为两个数的乘积 而左半部分的所有可能通过枚举各种可能值得到，而右半部分继续递归处理即可。这里在分解的时候会遇到 重复分析的情况，如16 可分为 2 4 4 ，与 4 4 2 ，因为分解时，是按照乘号左侧的数由小到大来分，因此左侧应该不大于右侧即可。所以函数的参数中传入前一次分解的数字，每次分解前先判断，是否右侧不小于左侧。最后的结果上要加上 1Xn ，因为自身也算是一种结果。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int sum=1;
void dfs(int k,int n){
    for(int j=2;j*j<=n;j++){
        if(k<=j&&n%j==0){
            sum++;
            dfs(j,n/j);
        }
    }
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    dfs(1,n);
    printf("%d\n",sum);
    return 0;
}