[Everyday Mathematics]20150105

设 $y_n=x_n^2$ 如下归纳定义: $$\bex x_1=\sqrt{5},\quad x_{n+1}=x_n^2-2\ (n=1,2,\cdots). \eex$$ 试求 $\dps{\vlm{n}\frac{x_1x_2\cdots x_n}{x_{n+1}}}$.

(Marden's Theorem) 设 $p(z)$ 是三次复系数多项式, 其三个根 $z_1,z_2,z_3$ 不共线; 再设 $T$ 是以 $z_1,z_2,z_3$ 为顶点的三角形. 则存在唯一的一个内切于 $T$ 的椭圆, 使得切点为 $T$ 各边的中点, 椭圆的的两焦点为 $p'(z)$ 的两个根.

设 $f:\bbR\to\bbR$ 二次可微, 适合 $f(0)=0$. 试证: $$\bex \exists\ \xi\in\sex{-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}},\st f''(\xi)=f(\xi)(1+2\tan^2\xi). \eex$$

设 $f\in C[0,1]$ 适合 $$\bex \int_x^1 f(t)\rd t\geq \frac{1-x^2}{2},\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$ 试证: $$\bex \int_0^1 f^2(t)\rd t\geq \frac{1}{3}. \eex$$

设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有任意阶导数, $f^{(n)}(0)=0$, 其中 $n$ 是任意正整数, 且存在 $C>0$, $$\bex |f^{(n)}(x)|\leq C^nn!,\quad \forall\ n\in\bbN,\quad \forall\ x\in[-1,1]. \eex$$ 试证: $f\equiv 0$.

设 $$\bex a_0=1,\quad a_1=\frac{1}{2},\quad a_{n+1}=\frac{na_n^2}{1+(n+1)a_n}\ (n\geq 1). \eex$$ 试证: $\dps{\sum_{k=0}^\infty\frac{a_{k+1}}{a_k}}$ 收敛, 并求其值.

设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵, 其特征多项式为 $$\bex f(\lm)=(\lm-\lm_1)^{n_1}\cdots(x-\lm_s)^{n_s}, \eex$$ 其中 $\lm_i$ 互不相同. 再设 $$\bex V=\sed{B\in C^{n\times n};\ AB=BA}. \eex$$ 试证: $\dim V=n_1^2+\cdots+n_s^2.$

设 $a>0$, $$\bex x_1=1,\quad x_{n+1}=x_n+an\prod_{i=1}^n x_i^{-\frac{1}{n}}. \eex$$ 试证: $$\bex \vlm{n}x_n=\infty,\quad \vlm{n}\frac{x_n}{\ln n}=\infty. \eex$$

证明: $$\bex \frac{2}{\pi}\int_0^\infty \frac{1-\cos 1\cos \lm-\lm \sin 1\sin \lm}{1-\lm^2}\cos \lm x\rd \lm =\sedd{\ba{ll} |\sin x|,&-1<x<1,\\ \frac{1}{2}|\sin x|,&|x|=1,\\ 0,&|x|>1. \ea} \eex$$