首先我们看例题：P2197 nim游戏
题目描述
甲，乙两个人玩Nim取石子游戏。
nim游戏的规则是这样的：地上有n堆石子（每堆石子数量小于10000），每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这n堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。
输入输出格式
输入格式：
第一行一个整数T<=10,表示有T组数据
接下来每两行是一组数据，第一行一个整数n，表示有n堆石子，n<=10000;
第二行有n个数，表示每一堆石子的数量
输出格式：
共T行，如果对于这组数据存在先手必胜策略则输出"Yes",否则输出"No"，不包含引号，每个单词一行。
输入输出样例
输入样例#1：
2 2 1 1 2 1 0
输出样例#1：
No Yes
讲解：
本题就是最最经典的nim游戏了。nim游戏过程中面临的状态叫做局面，第一个行动的为先手，第二个行动的为后手。考虑两人无比聪明，则必败局面仅当该局面所能到达的局面均为必败局面时出现，而必胜局面仅当后续局面存在至少1个必胜局面时出现，显然nim游戏中1为必胜局面（因为拿走1就赢了）。显然，nim游戏是不存在平局的，只有先手必赢或先手必输两种情况。
定理：设各堆为a1、a2…an，则nim游戏先手必赢仅当a1 Xor a2 Xor…Xor an≠0.
证明：
首先，当石子均被取完时，则a数组都为0，存在a1 Xor a2 Xor…Xor an=0，因为每次取都会使石子数减少，当前局面若a1 Xor a2 Xor…Xor an≠0，我们只要保证能在取走一些石子后使得a1 Xor a2 Xor…Xor an=0，则必然保证自己能取走最后一个石子获得胜利。
等价于证明：
（1）当a1 Xor a2 Xor…Xor an≠0时，存在某种取法使得剩下的石子xor和为0。
（2）当a1 Xor a2 Xor…Xor an=0时，不存在取法使得剩下的石子xor和为0。（即取走一些石子后必定Xor和不为0）
首先证明（1），对于任何一个局面a1 Xor a2 Xor…Xor an=x≠0，设x的二进制最高位的1在第k位，则至少存在一堆石子ai的二进制第k位是1（因为我们是Xor运算，某一位上的1不会凭空出现）且ai≥x。由Xor运算法则知：x Xor ai<ai，（因为至少会使第k为上的1变为0）。于是我们从ai这堆里取走一些石子，使得ai堆剩下的石子数变为ai Xor x，此时再对剩下的各堆进行上述运算：a1 Xor a2 Xor…ai Xor x…Xor an=x Xor x=0，此时Xor和为0。 于是得证（1）。
再来证明（2），对于任何一个局面a1 Xor a2 Xor…Xor ai Xor…an=0，我们反证：假设取走ai堆中的一些石子使ai变为了x，使得a1 Xor a2 Xor…Xor x Xor…an≠0，则显然是不可能的，因为开始Xor和就为0再由Xor运算的性质当ai变为x后若Xor和为0，当且仅当ai=x时成立。而nim游戏中不能不取，所以若当前局面Xor和为0,则必然会使下一局面Xor和不为0。于是（2）得证。
结论：nim游戏只要满足先手的Xor和不为0，则先手必赢，否则先手必输。
代码：
1 // luogu-judger-enable-o2
2 #include<bits/stdc++.h>
3 #define il inline
4 #define ll long long
5 using namespace std;
6 il ll gi()
7 {
8 ll a=0;char x=getchar();bool f=0;
9 while((x<‘0‘||x>‘9‘)&&x!=‘-‘)x=getchar();
10 if(x==‘-‘)x=getchar(),f=1;
11 while(x>=‘0‘&&x<=‘9‘)a=a*10+x-48,x=getchar();
12 return f?-a:a;
13 }
14 ll t,n,a[100005];
15 int main()
16 {
17 t=gi();
18 while(t--){
19 n=gi();ll x=0;
20 for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=gi(),x^=a[i];
21 if(x)puts("Yes");
22 else puts("No");
23 }
24 return 0;
25 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/five20/p/8570667.html