【51nod】1238 最小公倍数之和 V3

【题意】给定n，求Σi=1~nΣj=1~n lcm(i,j)，n<=10^10。

【算法】杜教筛

【题解】

$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}lcm(i,j)$

令$g(n)=\sum_{i=1}\frac{n*i}{(n,i)}$，则要求g(n)的前缀和。

$g(n)=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{d}[(n,i)=d]$

$g(n)=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n/d}i[(n/d,i)=1]$

$g(n)=n\sum_{d|n}\frac{d*\varphi(d)+[n=1]}{2}$

$g(n)=n/2*(1+\sum_{d|n}\varphi(d)*d)$

现在只需要求$\sum_{d|n}\varphi(d)*d$的前缀和s(n)。

幂函数和幂函数卷积有奇效。

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