UVA1471（红书例题 LIS）

　　这是LIS的变形，题意是求一个序列中去掉某个连续的序列后，能得到的最长连续递增序列的长度。

　　用DP的解法是：吧这个序列用数组a来记录，再分别用两个数组f记录以i结尾的最长连续递增序列的长度，g[i]记录以i开头的最长连续递增序列。然后像求DP求LIS一样遍历整个序列求出i前面所有小于a[i]的元素中以该元素结尾的最长序列f[j], 那么 dp[i] = g[j] + f[i], 这样时间复杂度为O（n^2)。

　　由于和普通的LIS类似，所以可以利用LIS的优化方法把该题的时间复杂的优化到O(nlogn)。方法仍是利用一个数组d[i]记录长度为 i 的连续递增序列的最后一个元素的最小值，显然该序列是单调递增的，所以上面红色字体的操作可以通过二分查找直接得到f[j]的值，进而得到一个可行的长度ans, 然后更新数组d即可,更新的方法是如果以a[i]小于数组d中记录的与a[i]长度相同的序列的最后一个元素的值，那么把这个值改为a[i], 即  d[f[i]] = min(a[i], d[f[i]]);  最终ans的最大值即为答案。

　　代码如下：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5
 6 using namespace std;
 7
 8 const int MAXN = 200050;
 9 const int INF = 1 << 30;
10 int a[MAXN], f[MAXN], g[MAXN], d[MAXN];
11
12 int main()
13 {
14     int t, n, i;
15     scanf("%d", &t);
16     while(t--)
17     {
18         scanf("%d", &n);
19         for(i = 1; i <= n; i++)
20             scanf("%d", &a[i]);
21
22         f[1] = 1;
23         for(i = 2; i <= n; i++)
24             if(a[i] > a[i - 1])
25                 f[i] = f[i - 1] + 1;
26             else
27                 f[i] = 1;
28
29         g[n] = 1;
30         for(i = n - 1; i > 0; i--)
31             if(a[i] < a[i + 1])
32                 g[i] = g[i + 1] + 1;
33             else
34                 g[i] = 1;
35
36         int ans = 0;
37         for(i = 0; i <= n; i++)
38             d[i] = INF;         //d[i]的值全部赋值为INF，方便二分查找和更新d[i]
39         for(i = 1; i <= n; i++)
40         {
41             int len = (lower_bound(d + 1, d + 1 + i, a[i]) - (d + 1)) + g[i];
42             ans = max(len, ans);
43             d[f[i]] = min(a[i], d[f[i]]);
44         }
45         printf("%d\n", ans);
46     }
47     return 0;
48 }

　　另外附上LIS的代码：(时间复杂度为O(nlogn)

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <algorithm>
 4
 5 using namespace std;
 6 const int MAXN = 100010;
 7 const int INF = 1 << 30;
 8 int  b[MAXN];
 9 int main()
10 {
11     int n, i, tem;
12     while(scanf("%d", &n) != -1)
13     {
14         for(i = 0; i <= n + 1; i++)
15             b[i] = INF;
16         for(i = 0; i < n; i++)
17         {
18             scanf("%d", &tem);
19             int pos = lower_bound(b, b+i+1, tem) - b;   //二分查找tem要插入的位置
20             b[pos] = tem;   //更新单调栈
21         }
22         for(i = 0; b[i] != INF; i++);  //求单调栈的长度
23         printf("%d\n", i);
24     }
25 }