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定义

感知机模型说白了就是推断“属于规定类？还是不属于规定类”的模型。

其函数为：

F(x)= sign(w·x + b)

w、b ：感知机模型的參数

w∈Rⁿ ：权值/权值向量

b∈R ：偏置

w·x ：w和x的内积

Sign ：符号函数

感知机为一种线性分类模型，属于一宗判别模型

感知机的几何解释

首先。其线性方程为w·x + b = 0，于是例如以下图所看到的：

若该线性方程相应特征空间Rⁿ中的一个超平面S，则w为该超平面的法向量，b为超平面的截距，该超平面将Rⁿ分成正负两类。于是该超平面也被称为分离超平面。

第一次总结

综上所述。感知机预測就是通过学习得到的感知机模型，给出新输入实力相应的输出类别。

线性可不可分

对数据集 T={(x₁,y₁),(x₂,y₂),...,(x_n,y_n)}，当中x₁∈Rⁿ。y_i={+1,-1}, i=1, 2, ...,n，若存在一超平面S：

w·x + b = 0

可将数据集的正实例点和负实例点全然正确的划分到超平面的两側。即：

对全部的y_i = +1的实例i，有w·x_i+ b > 0

对全部的y_i = -1的实例i，有w·x_i+ b < 0

则称数据集T为线性可分数据集，反之。称其为线性不可分数据集。

感知机学习策略

于是。其学习策略就是找出一个可将数据集全然正确分离的超平面：

w·x + b = 0

话句话说。就是确定w和b这两个參数

而为了确定这两个參数，我们需了解下“损失函数”。

损失函数

我们规定，损失函数为误分类点到超平面S的总距离。

于是，我们先写出输入空间Rⁿ中任一点x₀到超平面S的距离：

|w·x + b| / ||w||

这里||w||为w的L₂范数。

对于误分类的数据(x_i,y_i)来说：

-y_i(wx_i + b) > 0

由于。对于误分类的数据：

w·x + b > 0 时，y_i = -1

w·x + b < 0 时。y_i = +1

于是

∵误分类点x_i到超平面S的距离为：

-y_i(wx_i + b) / ||w||

∴ 对于误分类点集合M。全部误分类点到S的总距离为：

∴若不考虑1/||w|||，就得到了感知机学习模型的损失函数

最后，损失函数定义为：

对给定数据集 T={(x₁,y₁),(x₂,y₂),...,(x_n,y_n)}，当中x₁∈Rⁿ，y_i={+1,-1}, i=1, 2, ...,n

感知机sign(w·x + b)学习的损失函数定义为：

L(w,b) = -y_i(w·x_i + b)

当中。M为误分类点的集合。

第二次总结（关于损失函数）

1，  损失函数L(w, b) 是非负的

2，  若无误分类点，则损失函数为0

而随着误分类点的降低。损失函数的值也会降低

3，  一个特定的样本的损失函数：

在误分类时为參数w，b 的线性函数，在正确分类时为0

4，  于是。对给定训练数据T。损失函数L(w, b)为：w，b的连续可导函数

感知机学习算法的最优化方法

感知机学习算法的最优化的方法为：随机梯度下降算法。

(类似的还有个：最小二乘法)

感知机学习算法的原始形式

现已知，对于误分类点的几何，损失函数为：

L(w,b) = -y_i(w·x_i + b)

于是乎，我们的目的就是求L(w, b)的极小值，而这里，我们选择随机梯度下降算法来求此极小值。

以下请转到“随机梯度下降算法”的总结。