Introduction to Mathematical Thinking - Week 6 - Proofs with Quantifieers

Mthod of proof by cases

证明完所有的条件分支，然后得出结论。

证明任意

使用任意

注意，对于一个任意的东西，你不知道它的具体信息。比如对于任意正数，你不知道它是 1 还是 2等等。

使用矛盾

证明相反的结论是错误的

归纳法

Prove the initial step, then apply to the induction step.

Prove the mathematical theorems

Assignment

解析：首先尝试找到 m, n 使得结论成立。因为 m, n 的范围是整数，所以 m, n 可以是负整数、0、正整数。令 m = n = 0，则结果为 0 = 0^2。

整数，是序列{...，-3，-2，-1，0，1，2，3，...}中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。--整数

解析：注意，n 表示的是前 n 个奇数。所以第 n 个奇数表示为 2n - 1(n >= 1 的整数)。而不是平常的 2k + 1 (k >=0 的整数)。

评分题

解析：没有弄清楚证明的格式是什么，

假设 A(n) 成立之后怎么到 A(n+1)，为什么要写 by the induction hypothesis，我看你前面都没写。

不能直接用算术式子，还要说明（不知道如何说明）

Clarity 与 Reasons 有什么不同

Problem Set

Prove that the root of every prime number is irrational

之前证明根号2，根号3是无理数的推广。

证明视频

素数的算数定理

素数对于数论与一般数学的重要性来自于“算术基本定理”。该定理指出，每个大于1的整数均可写成一个以上的素数之乘积，且除了质约数的排序不同外是唯一的

寻找错误的言论

因为 a, b 属于 G 中的任意对象，所以 Now let c be any person in G other than a and b. 是错误的。