【高斯消元解xor方程】BZOJ1923-[Sdoi2010]外星千足虫

【题目大意】

有n个数或为奇数或为偶数，现在进行m次操作，每次取出部分求和，告诉你这几次操作选取的数和它们和的奇偶性。如果通过这m次操作能得到所有数的奇偶性，则输出进行到第n次时即可求出答案；否则输出无法确定。

【思路】

高斯消元解xor方程组，求最少需要的方程个数或判断无法确定。

无法确定即存在自由元，在每次操作中找1的时候判断一下就好了；最小方程个数，就是记录下每次找到的最小的1的位置，最后输出最大值即可。

【错误】

忘记把ans改为-1了（见程序注释）

【备注】

P.S.我看别人在高斯消元的过程中都是当前行和所有行xor一遍，而不是从下一行开始；然后结果就不需要回代了只需直接输出第n+1列即可？？不适合呢明白？？？？

在莫涛和proverbs那里找到答案了：

考虑系数矩阵，每行是一个方程，每列是一个未知数在各个方程中的系数（将第i行的方程的所有系数状压到一个数 a[i]里，可以用bitset）。
我们分析一下消元之后各个方程系数的状况：
由于我们每次选择最大的一个 a[i]，并且找到它最高位上的1，把其它所有方程（包含当前行以上的方程）这一位的系数全部消去，也就是说对于每个方程，它的系数 a[i]最高位上的1所在的那一列，仅有这一个1，其余的都是0。再进一步，如果方程个数n足够多的话，那么消元之后系数矩阵的每一行仅有一个1，并且这个1所在的那一列也仅有这一个1。

 1 /*回代的做法*/
 2 /**************************************************************
 3     Problem: 1923
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:244 ms
 7     Memory:1556 kb
 8 ****************************************************************/
 9
10 #include<iostream>
11 #include<cstdio>
12 #include<cstring>
13 #include<algorithm>
14 #include<bitset>
15 using namespace std;
16 const int MAXN=1000+50;
17 const int MAXM=2000+50;
18 bitset<MAXN> map[MAXM];
19 int n,m;
20 int times=-1;
21
22 void Gauss()
23 {
24     for (int i=1;i<=n;i++)
25     {
26         int t=i;
27         for (;t<=m && !map[t][i];t++);
28         if (t>m)
29         {
30             times=-1;//这里times要清成-1
31             return;
32         }
33         if (t!=i) swap(map[i],map[t]);
34         times=max(times,t);
35         for (int j=i+1;j<=m;j++)
36             if (map[j][i])
37                 map[j]^=map[i];
38     }
39
40 }
41
42 void init()
43 {
44     scanf("%d%d",&n,&m);
45     for (int i=0;i<m;i++)
46     {
47         char str[MAXN];
48         int mapans;
49         scanf("%s%d",str,&mapans);
50         map[i+1][n+1]=mapans;
51         for (int j=0;j<n;j++) map[i+1][j+1]=str[j]-‘0‘;
52     }
53 }
54
55 void print_ans()
56 {
57     if (times==-1) cout<<"Cannot Determine"<<endl;
58         else
59         {
60             printf("%d\n",times);
61             for (int i=n;i>=1;i--)
62                 for (int k=i+1;k<=n;k++)
63                     if (map[i][k])
64                     {
65                         int tmp=map[i][n+1]^map[k][n+1];
66                         map[i][n+1]=tmp;
67                     }
68             for (int i=1;i<=n;i++)
69                 puts((map[i][n+1])?"?y7M#":"Earth");
70         }
71 }
72
73 int main()
74 {
75     init();
76     Gauss();
77     print_ans();
78 }

额变慢了……仿佛被欺骗了感情……谁来告诉我一下??!!

/*不回代的做法*/
/**************************************************************
    Problem: 1923
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:284 ms
    Memory:1556 kb
****************************************************************/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<bitset>
using namespace std;
const int MAXN=1000+50;
const int MAXM=2000+50;
bitset<MAXN> map[MAXM];
int n,m;
int times=-1;

void Gauss()
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int t=i;
        for (;t<=m && !map[t][i];t++);
        if (t>m)
        {
            times=-1;//这里times要清成-1
            return;
        }
        if (t!=i) swap(map[i],map[t]);
        times=max(times,t);
        for (int j=1;j<=m;j++)
            if (i!=j && map[j][i])
                map[j]^=map[i];
    }

}

void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=0;i<m;i++)
    {
        char str[MAXN];
        int mapans;
        scanf("%s%d",str,&mapans);
        map[i+1][n+1]=mapans;
        for (int j=0;j<n;j++) map[i+1][j+1]=str[j]-‘0‘;
    }
}

void print_ans()
{
    if (times==-1) cout<<"Cannot Determine"<<endl;
        else
        {
            printf("%d\n",times);
            for (int i=1;i<=n;i++)
                puts((map[i][n+1])?"?y7M#":"Earth");
        }
}

int main()
{
    init();
    Gauss();
    print_ans();
}