例题：以下例题部分的内容来自https://blog.csdn.net/my_sunshine26/article/details/77141398
一、石子合并问题
1.（NYOJ737）http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=737
分析：我们dp[i][j]来表示合并第i堆到第j堆石子的最小代价。那么状态转移方程为dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j]) (s[i][j-1]<=k<=s[i+1][j])
其中w[i][j]表示把两部分合并起来的代价，即从第i堆到第j堆石子个数的和，为了方便查询，我们可以用sum[i]表示从第1堆到第i堆的石子个数和，那么w[i][j]=sum[j]-sum[i-1].
用s[i][j]表示区间[i,j]中的最优分割点，那么第三重循环可以从[i,j-1)优化到【s[i][j-1],s[i+1][j]】
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5 typedef long long ll;
6 const int maxn=210;
7 const ll inf=1e18;
8 ll dp[maxn][maxn];
9 ll sum[maxn],a[maxn];
10 int s[maxn][maxn];
11
12 int main()
13 {
14 int n,i,j,k,x,y,z,len;
15 while ( scanf("%d",&n)!=EOF )
16 {
17 for ( i=1;i<=n;i++ )
18 {
19 for ( j=1;j<=n;j++ ) dp[i][j]=inf;
20 dp[i][i]=0;
21 s[i][i]=i;
22 }
23 sum[0]=0;
24 for ( i=1;i<=n;i++ )
25 {
26 scanf("%lld",&a[i]);
27 sum[i]=a[i]+sum[i-1];
28 }
29 for ( len=2;len<=n;len++ )
30 {
31 for ( i=1;i<=n;i++ )
32 {
33 j=len+i-1;
34 if ( j>n ) break;
35 for ( k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++ )
36 {
37 if ( dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1] )
38 {
39 dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
40 s[i][j]=k;
41 }
42 }
43 }
44 }
45 printf("%lld\n",dp[1][n]);
46 }
47 return 0;
48 }
NYOJ737
2.（HDOJ3506）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3506
题意：上一题的升级版，将上一层的线性变成一个圈。这时候我们只需要将N变成n=2*N-1即可，最后ans=min(dp[i][i+n-1])
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5 typedef long long ll;
6 const int maxn=2010;
7 const ll inf=1e18;
8 ll dp[maxn][maxn];
9 ll sum[maxn],a[maxn];
10 int s[maxn][maxn];
11
12 int main()
13 {
14 int n,i,j,k,x,y,z,len,N;
15 ll ans;
16 while ( scanf("%d",&N)!=EOF )
17 {
18 n=2*N-1;
19 for ( i=1;i<=n;i++ )
20 {
21 for ( j=1;j<=n;j++ ) dp[i][j]=inf;
22 dp[i][i]=0;
23 s[i][i]=i;
24 }
25 sum[0]=0;
26 for ( i=1;i<=N;i++ )
27 {
28 scanf("%lld",&a[i]);
29 sum[i]=a[i]+sum[i-1];
30 }
31 for ( i=1;i<N;i++ ) sum[i+N]=a[i]+sum[i+N-1];
32 for ( len=2;len<=N;len++ )
33 {
34 for ( i=1;i<=n;i++ )
35 {
36 j=len+i-1;
37 if ( j>n ) break;
38 for ( k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++ )
39 {
40 if ( dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1] )
41 {
42 dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
43 s[i][j]=k;
44 }
45 }
46 }
47 }
48 ans=inf;
49 for ( i=1;i<=N;i++ )
50 {
51 j=i+N-1;
52 ans=min(ans,dp[i][j]);
53 }
54 printf("%lld\n",ans);
55 }
56 return 0;
57 }
HDOJ3506
二、括号匹配问题
1.（POJ2955）http://poj.org/problem?id=2955
题意：给出一个的只有‘(‘,‘)‘,‘[‘,‘]‘四种括号组成的字符串，求最多有多少个括号满足题目里所描述的完全匹配。
分析：用dp[i][j]表示区间[i,j]里最大完全匹配数。只要得到了dp[i][j]，那么就可以得到dp[i-1][j+1] dp[i-1][j+1]=dp[i][j]+(s[i-1]于s[j+1]匹配？2:0).
然后利用状态转移方程更新一下区间最优解即可。dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j])
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5 typedef long long ll;
6 const int maxn=105;
7 char s[maxn];
8 ll dp[maxn][maxn];
9
10 int main()
11 {
12 int n,i,j,k,x,y,z,len;
13 while ( scanf("%s",s+1)!=EOF && s[1]!=‘e‘ )
14 {
15 n=strlen(s+1);
16 memset(dp,0,sizeof(dp));
17 for ( len=2;len<=n;len++ )
18 {
19 for ( i=1;i<=n;i++ )
20 {
21 j=i+len-1;
22 if ( j>n ) break;
23 if ( (s[i]==‘(‘&&s[j]==‘)‘) || (s[i]==‘[‘&&s[j]==‘]‘) ) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
24 for ( k=i;k<j;k++ ) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
25 }
26 }
27 printf("%lld\n",dp[1][n]);
28 }
29 return 0;
30 }
POJ2955
2.(NYOJ15)http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=15
分析：最少添加的括号数=总括号-最大匹配的括号数,代码于上一题基本一致
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5 typedef long long ll;
6 const int maxn=105;
7 char s[maxn];
8 ll dp[maxn][maxn];
9
10 int main()
11 {
12 int n,i,j,k,x,y,z,len,T;
13 scanf("%d",&T);
14 while ( T-- )
15 {
16 scanf("%s",s+1);
17 n=strlen(s+1);
18 memset(dp,0,sizeof(dp));
19 for ( len=2;len<=n;len++ )
20 {
21 for ( i=1;i<=n;i++ )
22 {
23 j=i+len-1;
24 if ( j>n ) break;
25 if ( (s[i]==‘(‘&&s[j]==‘)‘) || (s[i]==‘[‘&&s[j]==‘]‘) ) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
26 for ( k=i;k<j;k++ ) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
27 }
28 }
29 printf("%lld\n",n-dp[1][n]);
30 }
31 return 0;
32 }
NYOJ15
三、整数划分问题
1.（NYOJ746）http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=746
分析：用dp[i][j]表示从第一位到第i位共插入j个乘号后乘积的最大值。根据区间DP的思想我们可以从插入较少乘号的结果算出插入较多乘号的结果。
方法是当我们要放第j的乘号时枚举放的位置。状态转移方程为dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*num[k+1][i])。其中num[i][j]表示从s[i]到s[j]这段连续区间代表的数值。
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5 typedef long long ll;
6 const int maxn=20;
7 ll dp[maxn][maxn];
8 ll num[maxn][maxn];
9
10 int main()
11 {
12 int T,n,m,i,j,k,x,y,z;
13 char s[maxn];
14 scanf("%d",&T);
15 while ( T-- )
16 {
17 scanf("%s%d",s+1,&m);
18 n=strlen(s+1);
19 memset(dp,0,sizeof(dp));
20 for ( i=1;i<=n;i++ )
21 {
22 num[i][i]=s[i]-‘0‘;
23 for ( j=i+1;j<=n;j++ ) num[i][j]=num[i][j-1]*10+s[j]-‘0‘;
24 }
25 for ( i=1;i<=n;i++ ) dp[i][0]=num[1][i];
26 for ( j=1;j<m;j++ )
27 {
28 for ( i=1;i<=n;i++ )
29 {
30 for ( k=1;k<i;k++ ) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*num[k+1][i]);
31 }
32 }
33 printf("%lld\n",dp[n][m-1]);
34 }
35 return 0;
36 }
NYOJ746
原文地址：https://www.cnblogs.com/HDUjackyan/p/9123199.html