题目链接http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4549；
题目是中文的很容易理解吧。可一开始我把题目看错了，这毛病哈哈。 一开始我看错题时，就用了一个快速幂来解，不用说肯定wa,看题目的通过率也不高，我想会不会有啥坑啊。然而我就是那大坑，哈哈。
不说了，直接说题吧，先讨论k=1,2,3;时的解。这应该会解吧，不多说了；
从第四项开始f(4)=a^1+b^2;f（5）=a^2+b^3;f(6)=a^3+b^5......; 看出来了吧，a上的指数成斐波那契数列，b的也成，而且a的指数是b的前一项；
那么就打表求斐波那契数列呗，不敢，范围太大，又爆内存又超时的。
f(n)=a^k(n-4)+b^k(n-3);其中n>=4;k(0)=1;k(1)=2;
用矩阵来求斐波那契数列的相邻两项有[k[n-2],k[n-1]]*[0 1]
[1 1]
上式等于[k[n-1],k[n]];
那么要求[k[n-4],k[n-3]]=[1,2]*[0 1]^(n-3)
[1 1]
这样就可以用矩阵快速幂来求k[n-4],k[n-3]了；
但光这样还不够，在矩阵快速幂过程中还得取模，不然会溢出。
由费马小定理在p为素数的情况下对任意的整数x都有x^p==x(mod p)
;如果x不能被p整除有x^(p-1)=1(mod p);由于a,b<1e9;所以不能被1e9+7整除， 求出了k[n],则a^k[n]%p=a^(k[n]%(p-1))%p;
证明如下： k[n]=m*(p-1)+d;那么a^k[n]%p=a^[(m*(p-1))+d]%p=(a^[m*(p-1)]%p*a^(d)%p)%p;
由费马小定理可知a^(m*(p-1))%p=1; 而d=k[n]%(p-1);得证；
所以矩阵快速幂时要对1e+6取模就行了； 当k(n)求出来是再进行快速幂运算就可以了，复杂度为2*log2(n); 注意要开longlong不然会溢出。
下面看代码：
1 #include<stdio.h>
2 #include<string.h>
3 #include<iostream>
4 #include<algorithm>
5 #include<stdlib.h>
6 #include<math.h>
7 const long long N=1e9+7;
8 const long long M=1e9+6;
9 typedef long long ll;
10 void kk(ll y);
11 ll pp(ll x,ll y);
12 ll b[2][2];
13 ll a[2][2];
14 using namespace std;
15 int main(void)
16 {
17 ll i,j,k,p,q,n,m;
18
19 while(scanf("%lld%lld%lld",&p,&q,&k)!=EOF)
20 {
21 if(k==0)
22 {
23 printf("%lld\n",p%N);
24
25 }
26 else if(k==1)
27 {
28 printf("%lld\n",q%N);
29
30 }
31 else if(k==2)
32 {
33 printf("%lld\n",(p%N*q%N)%N);
34 }
35 else
36 {
37 k=k-3;
38 kk(k);
39 ll p1=(b[0][0]%M+2*b[1][0]%M)%M;//求的k(n-4)
40 ll p2=(b[0][1]%M+2*b[1][1]%M)%M;//k[n-3]
41 ll x1=pp(p,p1);//a^k(n-4);
42 ll x2=pp(q,p2);//b^k(n-3);
43 ll dd=(x1*x2)%N;//d=(a^k(n-4)*b^k(n-3))%N;
44 printf("%lld\n",dd);
45
46 }
47
48 }
49
50 return 0;
51
52 }
53
54 ll pp(ll x,ll y)//快速幂
55 {
56 ll p=x;
57 ll q=1;
58
59 while(y)
60 {
61 if(y&1)
62 {
63 q=(q%N*p%N)%N;
64 }
65 p=(p%N*p%N)%N;
66
67 y=y/2;
68 }
69 return q;
70
71 }
72
73
74 void kk(ll y)//矩阵快速幂 形式和快速幂基本一样。
75 {
76 ll i,j,k;
77 ll x1,x2,x3,x4;
78 a[0][0]=0;//a为变换矩阵；
79 a[0][1]=1;
80 a[1][0]=1;
81 a[1][1]=1;
82 b[0][0]=1;//b为单位阵；
83 b[0][1]=0;
84 b[1][0]=0;
85 b[1][1]=1;
86
87 while(y)
88 {
89 if(y&1)
90 {
91 x1=((b[0][0]*a[0][0])%M+(b[0][1]*a[1][0])%M)%M;
92 x2=((b[0][0]*a[0][1])%M+(b[0][1]*a[1][1])%M)%M;
93 x3=((b[1][0]*a[0][0])%M+(b[1][1]*a[1][0])%M)%M;
94 x4=((b[1][0]*a[0][1])%M+(b[1][1]*a[1][1])%M)%M;
95 b[0][0]= x1;
96 b[0][1]=x2;
97 b[1][0]=x3;
98 b[1][1]=x4;
99 }
100 x1=((a[0][0]*a[0][0])%M+(a[0][1]*a[1][0])%M)%M;
101 x2=((a[0][0]*a[0][1])%M+(a[0][1]*a[1][1])%M)%M;
102 x3=((a[1][0]*a[0][0])%M+(a[1][1]*a[1][0])%M)%M;
103 x4=((a[1][0]*a[0][1])%M+(a[1][1]*a[1][1])%M)%M;
104 a[0][0]=x1;
105 a[0][1]=x2;
106 a[1][0]=x3;
107 a[1][1]=x4;
108 y/=2;
109
110 }
111
112
113
114
115 }