最大子数组问题(求连续子数组的最大和)

在<算法导论>第四章分治策略(Divider and Conquer)4.1节提出了最大子数组问题。其转化就是求数组a={1, -2, 3, 10, -4, 7 , 2, -5}中连续子数组的最大和。

对于这个问题，很容想到一种暴力求解的方法：简单地尝试对所有可能的的组合进行求和。对数组为n存在n*(n-1)/2中组合，然后对每个组合进行求和。即三个for循环遍历，求出数组中每一个子数组的和，最终求出这些子数组的最大的一个值。记Sum[i,...,j]为数组a中第i个元素到第j个元素的和(其中0<=i<=j<n)，遍历所有可能的Sum[i,...,j],那么时间复杂度(最大运行时间running Time)为Ο(n^3)。

 1 package algorithms;
 2
 3 /**
 4  * @author public
 5  *本段代码参考编程之美
 6  */
 7 public class MaxSubarraySum {
 8
 9     static int[] a = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};
10     static int sum;
11     static int maxSum = 0;
12     public static void main(String[] args) {
13         // TODO Auto-generated method stub
14         for (int i = 0; i < a.length; i++) {
15             for (int j = i; j < a.length; j++) {
16                 for (int k = i; k <= j; k++) {
17                     sum += a[k];
18                 }
19                 if (sum > maxSum) {
20                     maxSum = sum;
21                 }
22                 sum = 0;//无论是sum>maxSum还是sum<=maxSum都要对sum进行清零操作
23             }
24         }
25
26         System.out.println("maxSum="+maxSum);
27
28     }
29
30 }

运行结果：

maxSum=18

在算法导论4.1-5习题提到如下思想：最大字数组问题设计一个非递归的、线性时间的算法。从数组的左边界开始，由左到右处理，记录到目前为止已经处理过的最大字数组。若已知a[1,...,j]的最大子数组，基于如下性质将解扩展为a[1,...,j+1]的最大子数组：a[1,...,j+1]的最大子数组要么是a[1,...,j]的最大子数组，要么是某个子数组a[i,...,j+1](1≤i≤j+1)。在已知a[1,...,j]的最大子数组的情况下，可以在线性时间内找出形如a[i,...,j+1]的最大子数组。

实现方法：

 1 package algorithms;
 2
 3 public class FindMaxSubarray {
 4
 5     static int[] array = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};
 6
 7     public static void main(String[] args) {
 8         MaxSum(array);
 9     }
10
11     private static void MaxSum(int[] arraytmp) {
12         // TODO Auto-generated method stub
13         if (arraytmp==null) {
14             return;
15         }
16
17         int curSum = 0, maxSum = 0;
18
19         int indexStart = 0, indexEnd = 0;    //初始化字数组最大和下标
20
21         for (int j = 0; j < arraytmp.length; j++) {
22             curSum += arraytmp[j];//累加
23
24             if (curSum < 0) {  //当前和小于0，重置为0
25                 curSum = 0;
26                 indexStart = j+1;//调整字数组最大和的开始下标
27             }
28
29             if (curSum > maxSum) {    //当前和大于最大和，则重置最大和
30                 maxSum = curSum;
31                 indexEnd = j;    //调整字数组最大和的结束下标
32             }
33
34         }
35
36         if (maxSum == 0) {        //最大和依然为0，说明数组中所有元素都为负值
37             maxSum = arraytmp[0];
38             indexStart = indexEnd = 0;        //初始化子数组最大和下标
39             for (int j = 0; j < arraytmp.length; j++) {
40                 if (arraytmp[j] > maxSum) {
41                     maxSum =arraytmp[j];
42                     indexEnd = indexStart = j;//调整子数组最大和下标
43                 }
44             }
45         }
46
47         for (int i = indexStart; i <= indexEnd; i++) {
48             System.out.print(arraytmp[i]+" ");//输出最大和的子数组
49         }
50         System.out.println();
51         System.out.println("maxSum="+maxSum);//输出子数组最大和
52     }
53
54 }

运行结果：

3 10 -4 7 2
maxSum=18