区间DP理解 （石子合并）

设有N堆沙子排成一排，其编号为1，2，3，…，N（N<=300）。每堆沙子有一定的数量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆沙子合并成为一堆，每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆沙子的数量之和，合并后与这两堆沙子相邻的沙子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同，如有4堆沙子分别为 1  3  5  2 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24，如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22；问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小。输出最小代价。

设dp[i][j]为从i到j的最小合并代价，要求的就是dp[1][n]。

可将(i,j)这个区间划分为(i , k) 和( k+1 ,j ) 两个区间合并而成，那么代价就为( i , j )这个区间的总的代价就为，dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]，sum[i][j]代表i到j石子的总代价。

那么dp[i][j] = min( dp[i][k]+dp[k+1][j] ) + sum[i][j]    { i<=k<j }

应为当计算i到j时，区间长度小于(i,j)的子区间必须被计算出来，那么递推顺序必须按照区间长度来枚举。

题目在 Tyvj 的P1055.

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAX=0x3f3f3f3f;
int n,tmp,dp[305][305],sum[305];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    memset(dp,MAX,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&tmp);
        sum[i] = sum[i-1]+tmp;
        dp[i][i] = 0;
    }
    for(int len = 2; len <= n; len++) //按照区间长度枚举
        for(int i = 1 ;i <= n-len+1 ;i++) {
            int j = i+len-1;
            int w = sum[j] - sum[i-1];   // i , j , w 分别为区间左端点，右端点，该区间的石子代价
            for(int k = i ;k < j ;k++)
                dp[i][j] = max( dp[i][k]+dp[k+1][j]+w ,dp[i][j] );
        }
    printf("%d\n",dp[1][n]);
    return 0;
}



区间DP理解 （石子合并）