Multiplepack coming~^.^

多重背包：

基本思路：

先来看一个引例：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。这种类型的背包问题的特点是：每件物品的件数有限。

和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件„„取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]} 完全背包中k的范围是（0<=k<=v/c[i]）. 复杂度是O(V*Σn[i]),

代码与完全背包的区别仅在内部循环上由

变为

多重背包二进制拆分实现

跟完全背包一样的道理，利用二进制的思想将n[i]件物品i拆分成若干件物品，目的是在0-n[i]中的任何数字都能用这若干件物品代换，另外，超过n[i]件的策略是不允许的。

方法是将物品i分成若干件，其中每一件物品都有一个系数，这件物品的费用和价值都是原来的费用和价值乘以这个系数，使得这些系数分别为1,2,4,…,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，n[i]=13，就将该物品拆成系数为1、2、4、6的四件物品。分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示。

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3
 4 /* 多重背包 二进制拆分
 5  * Time Complexity  大于O(N*V)
 6  * Space Complexity O(N*V)
 7  * 设 V <= 200 N <= 10 ，拆分后 物品总数 < 50
 8  * 每件物品有 log n[i]种状态
 9  */
10
11 int maxV[201];
12 int weight[50]; /* 记录拆分后物体重量 */
13 int value[50];  /* 记录拆分后物体价值 */
14 int V, N;
15
16 void main()
17 {
18     int i, j;
19     scanf("%d %d",&V, &N);
20     int weig, val, num;
21     int count = 0;
22
23     for(i = 0; i < N; ++i)
24     {
25         scanf("%d %d %d",&weig,&val,&num);
26
27         for(j = 1; j <= num; j <= 1) // 二进制拆分
28         {
29             weight[count] = j * weig;
30             value[count++] = j * val;
31             num -= j;
32         }
33         if(num > 0)
34         {
35             weight[count] = num * weig;
36             value[count++] = num * val;
37         }
38     }
39     for(i = 0; i < count; ++i)  // 使用01背包
40     {
41         for(j = V; j >= weight[i]; --j)
42         {
43             int tmp = maxV[j-weight[i]] + value[i];
44             maxV[j] = maxV[j] > tmp ? maxV[j] : tmp;
45         }
46     }
47     printf("%d",maxV[V]);
48 }
49
50 /*
51     【输入样例】
52     4 20
53     3     9     3
54     5     9     1
55     9     4     2
56     8     1     3
57     【输出样例】
58     47
59 */

下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：

 1 void multiplepack(int cost, int weight, int amount)
 2 {
 3     if(cost*amount>=V)
 4         cmpletepack(cost,weight);
 5     else
 6     {
 7         int k=1;
 8         while(k<amount)
 9         {
10             zeroonepack(k*cost,k*weight);
11             amount-= k;
12             k=k*2;
13         }
14         zeroonepack(amount*cost,amount*weight);
15     }
16 }

总结完啦~要回家了已经做不进去题了~噶呜~但我还在坚持每天更新博客~*。*

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