切向量，法向量，梯度



首先，说明所说的梯度与曲线的切向量垂直，即梯度方向是法向量方向：

设曲线x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)是曲面u(x,y,z)=c上的一条曲线（c为常数，u(x,y,z)=c表示等高线），由于该曲线在曲面上，所以x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)满足方程u(x,y,z)=c，即u(x(t),y(t),z(t))=c，利用复合函数求导法则，方程两边同时对t求导数，得 (eu/ex)*x‘(t)+(eu/ey)*y‘(t)+(eu/ez)*z‘(t)=0，所以向量(x‘(t),y‘(t),z‘(t))【切向方向】与向量(eu/ex,eu/ey,eu/ez)【梯度】垂直。

但是，这里需要注意的这里的法向量方向是对等高线来说的，而非对曲面，曲面法向量需要添加对u求偏导。因为梯度方向是降维的，都是对自变量求导的。

而向量(x‘(t),y‘(t),z‘(t))表示曲线的切向量，向量(eu/ex,eu/ey,eu/ez)表示梯度，所以梯度和切向量垂直。

说道这里，可能还不好理解，用爬山来举例。

爬山是最快的方向就是直观上最陡的方向，我们看着是斜向上的。而爬山时梯度方向是水平的【延伸到高维就不能说水平了】，即把那个斜向上的方向投影到水平面上的方向，也就是等高线的法向量方向了。

总结，讨论梯度与切向量、法向量的关系时，切法向量均是对曲线来说的，而不是整个曲面的法向量。因为梯度的维度比曲线的维度地，这是需要记住的。