算法导论：回文子串（Manacher）算法 ，O(n)时间效率实现

问题描述：

输入一个字符串，求出其中最大的回文子串。子串的含义是：在原串中连续出现的字符串片段。回文的含义是：正着看和倒着看相同，如abba和yyxyy。

解析：

这里介绍O(n)回文子串（Manacher）算法

算法基本要点：首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：

在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。

为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#。

下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]），比如S和P的对应关系：

S     #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #

P     1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1

(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

下面计算P[i]，该算法增加两个辅助变量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。

这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。

具体代码如下：

if(mx > i)
{
      p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));
}
else
{
       p[i] = 1;
}

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

当 P[j] > mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能一个一个匹配了。

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了

下面给出原文，进一步解释算法为线性的原因

源代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>

using namespace std;

void findBMstr(string& str)
{
    int *p = new int[str.size() + 1];
    memset(p, 0, sizeof(p));

    int mx = 0, id = 0;
    for(int i = 1; i <=  str.size(); i++)
    {
        if(mx > i)
        {
            p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));
        }
        else
        {
            p[i] = 1;
        }

        while(str[i - p[i]] == str[i + p[i]])
            p[i]++;

        if(i + p[i] > mx)
        {
            mx = i + p[i];
            id = i;
        }

    }
    int max = 0, ii;
    for(int i = 1; i < str.size(); i++)
    {
        if(p[i] > max)
        {
            ii = i;
            max = p[i];
        }
    }

    max--;

    int start = ii - max ;
    int end = ii + max;
    for(int i = start; i <= end; i++)
    {
        if(str[i] != '#')
        {
            cout << str[i];
        }
    }
    cout << endl;

    delete  p;
}

int main()
{
    string str = "12212321";
    string str0;
    str0 += "$#";
    for(int i = 0; i < str.size(); i++)
    {
        str0 += str[i];
        str0 += "#";
    }

    cout << str0 << endl;
    findBMstr(str0);
    return 0;
}

执行结果：