[算法]素数筛法

【方法一】

【代码一】

[cpp] view
plaincopy

1. //判断是否是一个素数
2. int IsPrime(int a){
3. //0,1，负数都是非素数
4. if(a <= 1){
5. return 0;
6. }
7. //计算枚举上界，为防止double值带来的精度损失，所以采用根号值取整后再加1，即宁愿多枚举一个，也不愿少枚举一个数
8. int bound = (int)sqrt(a) + 1;
9. for(int i = 2;i < bound;i++){
10. //依次枚举这些数能否整除x，若能则必不是素数
11. if(a % i == 0){
12. return 0;
13. }
14. }
15. return 1;
16. }

【方法二】

【代码二】

[cpp] view
plaincopy

1. #define MAXSIZE 10001
2. int Mark[MAXSIZE];
3. int prime[MAXSIZE];
4. //判断是否是一个素数  Mark 标记数组 index 素数个数
5. int Prime(){
6. int index = 0;
7. memset(Mark,0,sizeof(Mark));
8. for(int i = 0;i < MAXSIZE;i++){
9. //已被标记
10. if(Mark[i] == 1){
11. continue;
12. }
13. else{
14. //否则得到一个素数
15. prime[index++] = i;
16. //标记该素数的倍数为非素数
17. for(int j = i*i;j < MAXSIZE;j += i){
18. Mark[j] = 1;
19. }
20. }
21. }
22. return index;
23. }

【方法三】

这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数

把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。

比如10，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

【代码三】

[cpp] view
plaincopy

1. int Mark[MAXSIZE];
2. int prime[MAXSIZE];
3. //判断是否是一个素数  Mark 标记数组 index 素数个数
4. int Prime(){
5. int index = 0;
6. memset(Mark,0,sizeof(Mark));
7. for(int i = 2; i < MAXSIZE; i++)
8. {
9. //如果未标记则得到一个素数
10. if(Mark[i] == 0){
11. prime[index++] = i;
12. }
13. //标记目前得到的素数的i倍为非素数
14. for(int j = 0; j < index && prime[j] * i < MAXSIZE; j++)
15. {
16. Mark[i * prime[j]] = 1;
17. if(i % prime[j] == 0){
18. break;
19. }
20. }
21. }
22. return index;
23. }

利用了每个合数必有一个最小素因子。每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。所以为线性时间。

代码中体现在：

if(i%prime[j]==0)break;

prime数组 中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j]，那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉。

因为i中含有prime[j], prime[j] 比 prime[j+1] 小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。

在满足i%prme[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,pr[j]必定是pr[j]*i的最小因子。

参考博文：点击打开链接

习题练习：点击打开链接