几乎所有目前的 3D 显示芯片都有 Z buffer 或 W buffer。不过，还是常常可以看到有人对 Z buffer 和 W buffer 有一些基本的问题，像是 Z buffer 的用途、Z buffer 和 W buffer 的差别、或是一些精确度上的问题等等。这篇文章的目的就是要简单介绍一下 Z buffer 和 W buffer。

Z buffer 和
W buffer 是做什么用的呢？它们的主要目的，就是去除隐藏面，也就是 Hidden surface
elimination（或是找出可见面，Visible surface detemination，这是同样意思）。在 3D
绘图中，只要有两个以上的三角面，就可能会出现某个三角面会遮住另一个三角面的情形。这是很明显的现象，因为近的东西总是会遮住远的（假设这些三角面都是不透明的）。所以，在绘制
3D 场景时，要画出正确的结果，就一定要处理这个问题。
不过，这个问题是相当困难的，因为它牵扯到三角面之间的关系，而不只是某个三角面本身而已。所以，在做去除隐藏面的动作时，是需要考虑场景中所有的三角面的。这让问题变得相当的复杂。而且，三角面往往并不是整个被遮住，而常常是只有一部分被遮住。所以，这让问题变得更复杂。

要做到去除隐藏面的最简单方法，就是「画家算法」（Painter‘s
algorithm）。这个方法的原理非常简单，也就是先画远的东西，再画近的东西。这样一来，近的东西自然就会盖住远的东西了。因为油画的画家通常会用这样的方法，所以这个方法被称为「画家算法」。下图是一个例子：

上图中，红色的圆形最远，所以最先画。然后是黄色的三角形，最后是灰色的方形。照远近的顺序来画，就可以达到去除隐藏面的效果。所以，只要把 3D 场景中的三角面，以对观察者的距离远近排序，再从远的三角面开始画，应该就可以画出正确的结果了。
不过，实际上并没有这么理想。在
3D
场景中，一个三角面可能有些地方远，有些地方近，因为三角面有三个顶点，而这三个顶点和观察者的距离，通常都是不同的。所以，要以哪个顶点来排序呢？或是以三角面的中心来排序？事实上，不管以什么为依据来排序，都可能会有问题。下图是一个「画家算法」无法解决的情形：

上图中，三个三角面互相遮住对方，所以不管用什么顺序去画，都无法得到正确的结果。另外，这个方法也无法处理三角面有交叉的情形。
当然，如果相当确定场景中不会出现这么奇怪的情形，那「画家算法」一般还是可以用的。不过，它还有一个很大的问题，就是效率不佳。首先，画家算法需要对场景中，在视角范围内所有的三角面做一个排序的动作。最好的排序算法也需要
O(n log n) 的时间。也就是说，（大致上来说）如果三角面的数目从一千个变一万个，排序需要的时间会变成约 13.3
倍。而且，因为这需要对场景中所有的三角面来做，因此也不适合用特别的硬件来做加速。另外，这个方法还有一个很大的问题，就是它会花很多时间去画一些根本就会被遮住的部分，因为每个三角面的每个
pixel 都需要画出来。这也会让效率变差。
如果场景是静态（不动）的，只有观察者会变动的话，那是有方法可以加快排序的速度。一个很常用的方法是
binary space
paritioning（BSP）。这个方法需要事先对场景建立一个树状结构。建立这个结构后，不管观察者的位置、角度是如何，都可以很快找出正确的绘制顺序。而且，BSP
会视需要切开三角面，以处理像上图那样，三个三角面互相遮住对方的情形。
不过，BSP
结构在建立时，要花很多时间，所以不太可能实时运算。因此，通常只能用在场景中的静态部分，而会动的部分还是需要另外排序。而且，BSP
常会需要切开三角面，也会让三角面的数目增加。另外，BSP 仍然无法解决需要画出那些被遮住的 pixel 的问题。
另一种去除隐藏面的方法，是直接以
pixel 为单位，而不是以三角面为单位，来考虑这个问题。其中最简单的方法是由 Catmull 在 1974 年时提出来的，也就是 Z
buffer（或称 depth buffer）。这个方法非常简单，又容易由特别设计的硬件来执行，所以在内存容量不再是问题后，就变得非常受欢迎。

Z buffer 的原理非常简单。在绘制 3D 场景时，除了存放绘制结果的 frame buffer
外，另外再使用一个额外的空间，也就是 Z buffer。Z buffer 记录 frame buffer 上，每个 pixel
和观察者的距离，也就是 Z 值。在开始绘制场景前，先把 Z buffer 中所有的值先设定成无限远。然后，在绘制三角面时，对三角面的每个
pixel 计算该 pixel 的 Z 值，并和 Z buffer 中存放的 Z 值相比较。如果 Z buffer 中的 Z
值较大，就表示目前要画的 pixel 是比较近的，所以应该要画上去，并同时更新 Z buffer 中的 Z 值。如果 Z buffer 中的 Z
值较小，那就表示目前要画的 pixel 是比较远的，会被目前 frame buffer 中的 pixel 遮住，所以就不需要画，也不用更新 Z
值。这样一来，就可以用任意的顺序去画这些三角面，即可得到正确的绘制结果。下图是一个例子：

上图中，红色的三角面虽然先画出来，但是因为使用了 Z buffer，所以后画的黄色方块还是只会遮住适当的部分，而不会连较近的部分都遮住。这就显示出 Z buffer 的效果。

实际上
Z buffer 中能存放的数字当然会有一定的限度，所以通常会把 Z 值缩小到 0 ~ 1 的范围。因此，在绘制 3D
场景时，就会需要把可能出现的 Z
值限制在某个范围内。通常是用两个和投影平面平行的平面，把所有超出这两个平面范围的三角面都切掉。这两个平面通常分别称为 Z near 和 Z
far，分别表示较近的平面和较远的平面。而在 Z near 平面的 Z 值为 0，在 Z far 的 Z 值为 1。

在效率上 Z
buffer 并不一定会比「画家算法」要快。但是，它比较简单。而且，它的效率和三角面的数目并没有太大的关系，而是和绘制的 pixel
数目有关。所以，而且可以很容易设计出特定的 3D 硬件来做这个动作，而不需要由 CPU 来做。而 Z buffer
所需要的额外内存，在今天已经显得不是很重要。所以现在几乎所有的 3D 显示芯片都是使用 Z buffer。

不过，Z
buffer
并非全无问题。一个很大的问题是在于精确度上。如果有两个三角面很靠近，而其中一个完全在另一个之前，那应该只能看到一个三角面才对。但是，如果 Z
buffer 的精确度不够，那这两个三角面每个 pixel 的 Z 值可能会很接近。再加上计算出来的 Z
值一定会有误差，所以，很可能会造成应该被遮住的三角面，却有一些 pixel 没有被遮住。这种情形称为 Z
fighting。下图中，球在地面上的影子就是一个例子：

要避免这类问题，就要避免在场景中出现太过靠近，且接近平行的三角面。一般的场景不太会出现这个情形。不过，Z buffer 的精确度问题并不只是这样而已。在下一部分会对这个问题有更详细的说明。
Z aliasing         无 Z aliasing

前面把 Z buffer 的原理做了一个大概的说明，听起来 Z buffer 似乎是个很理想的技术。但是，实际上 Z buffer 有一个很大的问题，就是精确度的问题。

在前一页后面所提到的，两个非常接近的平面所出现的
Z fighting 情形，其实是相当少见，而且很容易避免的。当然，遇而还是会看到有一些游戏会出现这种情形。不过，Z buffer
最严重的问题是在离观察者较远的部分。如果 Z buffer
的精确度不够，而场景又很远的的话，那远处的东西就会出现一些非常奇怪的现象。下图是一个例子：

当然，上面的例子是比较极端的情形。实际上一般情形下并不会有这么夸张的 Z aliasing 现象。不过，我相信大家多少都在一些场景较大的游戏中，看过类似的情形。

为什么会有这样的现象呢？这就要从
Z buffer 的结构谈起了。如果前一页所说的，一般的显示芯片，是把 Z 值限制在 0 ~ 1 的范围，再用一个定点数去表示它。例如，一个
16 位的 Z buffer，可能会用 0 ~ 65535（一个 16 位数字可表示的范围）来表示这个 0 ~ 1 之间的 Z 值。

如果
Z buffer 的分布在 eye space
中是线性的，也就是它的每个数字之间的间隔都相等的话，那这样的精确度应该是蛮高的才对。因为，假设观察者可以看到一公里远的东西，那每个间隔就是约
1.5 公分。如果用更高精确度的数字来表示的话（像是 24 位数字），那精确度还会更高。然而，Z buffer 在 eye space
中并不是线性的。它是在 projection space 中为线性。

如果你觉得这些听起来像是外星话的话，现在就要来「翻译」这些外星话。首先，先来看一张示意图：

上图是一个眼睛在透视投影的情形下，观看场景中的一个红色平面的情形。靠近眼睛的平面（上面有黄色点的）是代表投影平面，也就是
3D 绘图中的屏幕。黄色的点红色平面投影到屏幕上的 pixel，他们当然是等间距的。但是，注意看这些「等间距」的 pixel，他们所对映的 Z
值（也就是 Z 轴上的那些灰色的点），并不是等间距的。实际上，离眼睛愈远的 pixel，其 Z 轴上的间距就愈大。
这其实透视投影的一个明显的性质。因为在透视投影的情形下，愈远的东西看起来愈小，所以，在屏幕上同样的间距，在比较远的地方，就会变得比较大。因此，虽然三角面是平面，但是它在每个
pixel 上的 Z 值却不是线性的变化。因此，就无法用线性内插来计算三角形内部的 pixel 的 Z 值。但是，要正确计算出每个 pixel
上的 Z 值，会需要一个除法的动作，而除法是很讨厌、很花时间的动作。
早期的显示芯片无法花费一个除法器在 Z buffer
上面。所以，一个方法是在 Z buffer 中，不要存放 eye space 的 Z 值，而改成存放 projection space 的 Z
值。这样一来，Z 值在 projection space 就会变成是线性的，就可以简单地用线性内插来计算三角形内部的 pixel 的 Z
值了。这也是目前几乎所有显示芯片的 Z buffer 的设计。
不过，在 projection space 中的 Z
值，就像上面的图所显示的一样，有一个很重要的特性：它所对映的 eye space 的 Z 值间隔，在愈远的地方就愈大。所以，Z buffer
的精确度，如果以 eye space
来看的话（这样看才有意义），就会变成不平均的分布。离观察者愈近的地方，其精确度会比远的地方更高。而这个精确度的变化，会取决于 Z near
平面和 Z far 平面的位置。Z near 平面离观察者愈近，且 Z far
平面离观察者愈远，则精确度的变化就会愈大，也就是远的地方的精确度会愈差。
在这一页最前面的两张图中，其 Z far 平面的位置是一样的，但是左图的 Z near 平面的位置，比右图的 Z near 平面的位置近了一千倍。所以，在左图中就出现了严重的 Z aliasing 现象，但是右图就没有出现这种现象。
所以，要尽可能避免
Z aliasing 现象，就要尽可能把 Z near 平面拉远，而把 Z far
平面拉近。但是，实际上很多情形下，是无法允许这样的设计的。比如说，在一个场景中，玩家可能会看到 50
公分远的桌子上的东西，而同时看到窗外在一公里外的一座大基地。因此，Z near 平面不能设得比 50 公分要远，但是 Z far
平面又得到一公里远。以 16 位 Z buffer 来看，那最远处的间隔（也就是一公里远的地方）会达到 30 公尺，也就是如果两个 pixel
的间距小于 30 公尺的话，Z buffer 将无法分辨出正确的顺序！而它在 Z near 处（也就是 50 公分的地方）的精确度则高达
0.0000076 公尺。这显示出精确度分布是如此的不平均和不适当。如果改用 24 位 Z buffer
的话，那情形会有相当程度的改善，在一公里远处的精确度会提高到约 12 公分。这也是为什么 24 位 Z buffer 很少会显示出 Z
aliasing 的情形。
不过，即使是 24 位 Z buffer 也不见得是完全理想。以上面的例子来说，如果 Z near
平面移到 10 公分处，在远处的精确度就会从 12 公分降低为 60 公分。有些人可能会觉得，在一公里远的地方，又有谁能分辨 60 公分，或是
12 公分呢？但是，问题在于，当两个大的平面的距离小于 60 公分时，因为 Z buffer
无法分辨出正确的顺序，就可能会在这一框是某个平面被画出来，而在下一框却变成是另一个平面被画出来。如果这两个平面的颜色差别很大，就会产生闪烁的现象，任何人都会很容易就注意到的。

有些显示芯片采取一些方法来解决这个问题。一个简单的想法是在 Z buffer
中使用浮点数，而不使用定点数。经过适当的设计，浮点数可以在某个特定的数字附近，提供更大的精确度范围（一般情形是在 0 附近）。而一般的 Z
buffer 在 Z far 附近会需要更高的精确度，所以可以把 Z buffer 在 Z far 平面以 0 表示，而 Z near 平面以 1
表示。这样就可以得到更高的精确度。不过，浮点数在计算上比较麻烦。特别是 Z buffer
的运算中，常需要做加法和比较的运算，这都会比定点数的运算要麻烦很多。
另外一个方法是用非线性的 Z buffer。例如，可以把 Z buffer 切成很多个小区间，而每一个小区间中都是一般的线性 Z buffer。但是，可以在远方分配更多的小区间，让它的精确度可以提高。这也是一种解决精确度问题的方式。
其实，要解决
Z buffer 精确度问题，最简单的方法就是在 eye space 中做线性内插。但是，前面已经说过，在 eye space 中的线性，在
projection space
并不一定是线性，所以它会需要额外的除法器。不过，有一个方法可以避免使用除法器，而只需要「倒数器」，「倒数器」比完整的除法器要简单一些。这个方法就是先以较高的精确度，在
projection space 中，对 Z 做线性内插。对每个内插得到的结果，再用倒数器算出其倒数，也就是所谓的 W 值。这个 W
值的精确度可以较低，因为它在 eye space 中的分布是平均的。最后，再把这个 W 值和 "W buffer"
里面的值做比较，就可以得到正确的顺序。这个方法，相信有些人已经猜到了，就是W buffering。
当然，另外还有一些别的方法可以实作出
W buffer。不过，不管是用什么方法实作 W buffer，其最重要的性质就是在 eye space 中为线性分布。因此，16 位的 W
buffer 在远处的精确度是非常理想的。以前面的例子来说，即使是 24 位 Z buffer，在一公里远处的精确度也只能到 12 公分。但是
16 位 W buffer 则是每个地方的精确度都是 1.5 公分。因此，在这个例子中，16 位 W buffer 在远处的表现，甚至比 24 位
Z buffer 更好。
而且，W buffer 还有一个好处，就是其 W near 平面（相对于 Z buffer 中的 Z
near 平面）的位置是不重要的。也就是说，W buffer 可以同时兼顾眼前的桌子，和数公里外的巨大基地。而用 Z buffer
的话，如果想要能正确显示出数公里外的巨大基地，那可能就得牺牲眼前的桌子了。
不过，因为 W buffer
的精确度是平均分布，它在 Z near 处的精确度就明显不如 Z buffer 了。虽然说 Z buffer 在 Z near
处的精确度是过于高了（像是 0.0000076 公尺），但是，W buffer 却可能会过于低。比如说，1.5
公分的精确度对于远处的物体是绝对足够的，但是对于靠近观察者的物体，则是明显的不足。比如说，桌上可能有一本厚度小于 1.5 公分的书。这时，1.5
公分的精确度是完全不够的。
这样听起来，好像 W buffer 也无法解决问题嘛！其实并不是这样的。如果有 24 位的 W
buffer，同时可以看到十公里外的东西（这应该算是非常的远了），那它的精确度还是有约 0.6
公厘左右。这样的精确度一般来说是相当足够的了。而且 W buffer 也很容易使用，不需要对程序有什么重大的修改。
目前 W buffer 最大的问题就是支持度不够。有些显示芯片根本就不支持 W buffer，而有些则只支持 16 位的 W buffer。不过，目前很多显示芯片都已经开始支持 W buffer，所以将来应该会有更多游戏使用吧！

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